Non tutte le famiglie hanno un inviluppo

Dicembre 23rd, 2020 | by Marcello Colozzo |

famiglia di curve piane,inviluppo,punti cuspidali
Fig. 1


Non tutte le famiglie di curve piane ammettono una curva inviluppo. Ciò si verifica quando il sistema da risolvere non ammette soluzioni, oppure la soluzione è il luogo dei punti singolari di tutte le curve della famiglia assegnata (dopo aver escluso le soluzioni improprie che danno luogo ai punti base della famiglia)

Esercizio

Trovare l'eventuale curva inviluppo della famiglia di semicubiche di fig. 1


Soluzione
Al solito poniamo


da cui il sistema

Abbiamo quindi la soluzione


che è una rappresentazione parametrica dell'asse y. Siamo perciò tentati a concludere: l'asse y è l'inviluppo della famiglia assegnata. Se però calcoliamo le derivate parziali rispetto alle variabili x e y

vediamo che esse si annullano in ogni punto dell'asse x. Ne segue che ogni punto del predetto asse è punto singolare per la semicubica passante per il punto considerato. È facile persuadersi che si tratta di punti cuspidali, come mostrato dal grafico di fig. 1


Not all families of plane curves admit an envelope curve. This occurs when the system to be solved does not admit solutions, or the solution is the locus of the singular points of all the curves of the assigned family (after excluding the improper solutions that give rise to the basis points of the family).
Exercise

Find the eventual envelope curve of the family of semicubics of fig. 1
Solution
As usual, let's say


hence the system

We therefore have the solution


which is a parametric representation of the y axis. We are therefore tempted to conclude: the y-axis is the envelope of the assigned family. However, if we calculate the partial derivatives with respect to the variables x and y

we see that they cancel out in every point of the x axis. It follows that each point of the aforesaid axis is a singular point for the semicubic passing through the point considered. It is easy to persuade that these are cusp points, as shown by the graph in fig. 1.

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