L'inviluppo quale luogo dei punti di flesso

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L'inviluppo quale luogo dei punti di flesso

venerdì, Dicembre 25th, 2020

inviluppo,punti di flesso,parabola cubica — **Fig. 1**

In this other example we see that the envelope is the locus of the inflection points of a single curve of the assigned family. In other words, the points of tangency are not always points of curvature for the curves of the family.
Esercizio

Si determini l'inviluppo della famiglia di parabole cubiche (fig. 1).

Soluzione
Poniamo e deriviamo rispetto al parametro

Quindi risolviamo il sistema

cioè l'asse x. Potrebbe essere l'inviluppo o la curva discriminante. Verifichiamo calcolando le derivate parziali

per cui non si annullano mai simultaneamente. Ne segue che l'asse x è l'inviluppo della famiglia assegnata. In particolare i punti di tangenza sono punti di flesso, come vediamo dalla fig. 1.

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Famiglia di parabole di Neil (curva discriminante)

venerdì, Dicembre 25th, 2020

parabole di neil,cuspide,famiglia,curva discriminante — **Fig. 1**

Esercizio

Determinare la curva discriminante della famiglia di parabole di Neil:

Soluzione
Scriviamo

Risolviamo il sistema:

cioè l'asse x. Si tratta di verificare se è l'inviluppo o la curva discriminante. A tale scopo calcoliamo le derivate parziali prime rispetto alle variabili x,y:

Segue

ovvero il luogo trovato è la curva discriminante. Per classificare i punti singolari calcoliamo le derivate parziali seconde rispetto alle variabili x,y

Applicando il procedimento standard per la classificazione dei punti singolari, si scopre che si tratta di cuspidi, come illustrato in fig. 1.
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