Evoluta dell'ellisse

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Evoluta dell'ellisse

lunedì, Dicembre 28th, 2020

evoluta,ellisse,centro di curvatura — **Fig. 1**

Esercizio

Assegnata l'ellisse:

Determinare: 1) le coordinate cartesiane del centro di curvatura e il raggio di curvatura in un generico punto dell'ellisse. 2) L'equazione dell'evoluta.

Soluzione
Abbiamo dimostrato in precedenza che la curvatura è

Ricordiamo che la notazione puntata denota la derivazione rispetto al parametro t. Il raggio di curvatura è

Nel caso di una curva piana

Ne segue

Per quanto riguarda le coordinate cartesiane del centro di curvatura, avevamo detto che

dove n_x, n_y sono le componenti cartesiane del versore curvatura

dove l'apice denota la derivazione rispetto al parametro naturale s. Passando da una rappresentazione all'altra, si trova:

Nel nostro caso è

Segue

mentre

Per rispondere al secondo quesito, basta applicare la definizione di evoluta di una curva piana (luogo dei centri di curvatura), per cui

che è tracciata in fig. 1 ove abbiamo considerato a > b*sqrt(2).
(altro…)

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Cercasi disperatamente curva inviluppo

domenica, Dicembre 27th, 2020

famiglia di curve piane,inviluppo,curva discriminante — **Fig. 1**

Esercizio

Studiare la famiglia di curve piane la cui espressione è in fig. 1.

Soluzione
Dopo aver definito la funzione

risolviamo il sistema

La seconda è verificata per x=2. Però sostituendo questo valore nella prima, otteniamo x=0. D'altra parte la seconda è verificata per y=λ. In tal modo la prima diviene

Iniziamo con x=1. Immettendo questo valore nella seconda, otteniamo il luogo geometrico

o meglio, una rappresentazione parametrica della retta verticale x=1. Potrebbe essere l'inviluppo o una curva discriminante. Verifichiamo calcolando il valore assunto dalle derivate parziali di F rispetto alle variabili x,y:

Risulta

Ne segue che Γ è il luogo dei punti singolari delle curve di Φ, i.e. è la curva discriminante per tale famiglia. Applicando il procedimento standard per la classificazione dei punti singolari delle curve piane, scopriamo che il generico punto di Γ è un nodo per la curva corrispondente. Passiamo ora all'altra soluzione x=0. Si trova facilmente la curva soluzione: