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Cercasi disperatamente curva inviluppo

Dicembre 27th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Esercizio

Studiare la famiglia di curve piane la cui espressione è in fig. 1.

Soluzione
Dopo aver definito la funzione

risolviamo il sistema

La seconda è verificata per x=2. Però sostituendo questo valore nella prima, otteniamo x=0. D'altra parte la seconda è verificata per y=λ. In tal modo la prima diviene

Iniziamo con x=1. Immettendo questo valore nella seconda, otteniamo il luogo geometrico

o meglio, una rappresentazione parametrica della retta verticale x=1. Potrebbe essere l'inviluppo o una curva discriminante. Verifichiamo calcolando il valore assunto dalle derivate parziali di F rispetto alle variabili x,y:

Risulta

Ne segue che Γ è il luogo dei punti singolari delle curve di Φ, i.e. è la curva discriminante per tale famiglia. Applicando il procedimento standard per la classificazione dei punti singolari delle curve piane, scopriamo che il generico punto di Γ è un nodo per la curva corrispondente. Passiamo ora all'altra soluzione x=0. Si trova facilmente la curva soluzione:

cioè l'asse y. Questa volta le derivate rispetto a x,y, non si annullano, per cui il luogo trovato è l'inviluppo, come mostrato in fig. 1.

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Exercise

Study the family of plane curves whose expression is in fig. 1.

Solution
After defining the function

let's solve the system

The second is verified for x = 2. But replacing this value in the first, we get x = 0. On the other hand the second is verified for y=λ. Thus the first becomes

We start with x = 1. By entering this value in the second, we obtain the geometric locus

or rather, a parametric representation of the vertical line x = 1. It could be the envelope or a discriminating curve. We verify by calculating the value assumed by the partial derivatives of F with respect to the variables x, y:

Turns out

It follows that Γ is the locus of the singular points of the curves of Φ, i.e. is the discriminating curve for that family. Applying the standard procedure for the classification of singular points of plane curves, we discover that the generic point of Γ is a knot for the corresponding curve. Let's now move on to the other solution x = 0. The solution curve is easily found:

i.e. the y axis. This time the derivatives with respect to x, y, do not cancel each other out, so the locus found is the envelope, as shown in fig. 1.

Tags: curva discriminante, famiglia di curve piane, inviluppo

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