Dall'esercizio trabocchetto al moto di un elettrone in un metallo

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Dall'esercizio trabocchetto al moto di un elettrone in un metallo

mercoledì, Marzo 23rd, 2022

equazione di schrödinger unidimensionale, effetto tunnel,particella libera — **Fig. 1.**

Ho scritto di getto su un esempio numerico per chiarire l'esercizio di ieri del Passatore. Un esempio banale è il gradino di potenziale, ma qualcuno potrebbe obiettare che non ci sono variazioni di potenziale (tranne nella discontinuità x=0), per cui tutto è come SE la particella fosse LIBERA DA FORZE.

In un modello più realistico (ma non tanto, siamo in uno scenario di simulazione) si può considerare un metallo unidimensionale che si estende in [0,+oo] per cui l'energia potenziale sperimentata da un elettrone è

V(x)=V₀*sin(2px/a) per x>=0 e V(x)=0, altrimenti. Qui a>0 è il passo del reticolo. Vediamo subito che l'hamiltoniano ha spettro puramente continuo, e sembra che sia E>-V₀, però ci sono problemi nella regione x<0, per cui consideriamo E>=-V₀. Per E>V₀, la regione classicamente accessibile è tutto l'asse reale, e la funzione d'onda ψ(x)=Asin(k*x) va benissimo: è sovrapposizione di autostati con +k e -k (non investighiamo troppo sul ruolo di k), anzi possiamo assumerla come stato iniziale: ψ₀(x)=Asin(k*x). Per risolvere l'equazione di Schrödinger in x>0 ci affidiamo a Mathematmica, visto che l'equazione non si risolve in forma chiusa. I risulati sono OK.

Invece, per 00 ci aspetta un processo di tunneling. Tuttavia l'integrazione numerica dà risultati stravaganti:

In allegato appunti scritti a mano.

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Ricostruzione in software della funzione d'onda di una particella libera

martedì, Marzo 22nd, 2022

meccanica quantistica,esercizi svolti,esercizi d'esame

Questo esercizio è preso da Il Passatore:

Di nostro, abbiamo inserito alcune considerazioni, come nella soluzione allegata. Altre osservazioni importanti, riguardano le condizioni sul bordo della funzione φ(x). Ad esempio, se tale funzione è periodica, troviamo un'onda di Block unidimensionale. Se invece, rispettiamo le predette condizioni assumendo poi che la predetta funzione sia una gaussiana, troviamo la funzione d'onda di una particella che simula un pacchetto d'onde.
In fig. 1 abbiamo un'animazione grafica che ricostruisce la funzione d'onda per diversi valori del valor medio p₀ dell'impulso (e quindi del valor medio del numero d'onde). All'aumentare di tale grandezza, aumenta il numero di oscillazioni che restano comunque inviluppate dalla medesima gaussiana.

Di seguito la soluzione