Il gatto di Felix Bloch

Gennaio 23rd, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Nel 1931 Wolfang Pauli scriveva a Pierls: "Non si deve lavorare sui semiconduttori, sono una porcheria. Chissà se i semiconduttori esistono realmente."

«Il problema principale era di spiegare come gli elettroni potessero sgattaiolare tra tutti gli ioni del metallo, evitando di avere un libero cammino medio dell'ordine delle distanze interatomiche»
Felix Bloch, 1928

In approssimazione zero anziché concentrarsi sul sistema costituito dagli elettroni di conduzione (in un metallo, per intenderci), ci si focalizza sull'hamiltoniana di singolo elettrone cercando di sfruttare le simmetrie del sistema medesimo (si pensi, ad esempio, al modello di Thomas-Fermi, dove è presente una simmetria sferica (potenziale centrale)). Nello specifico, abbiamo una evidente simmetria per traslazione sul reticolo cristallino che idealizza il solido. Ciò si traduce in una periodicità dell'energia potenziale (nelle coordinate spaziali). In altri termini, il singolo elettrone si muove in un campo di forze derivante da un potenziale periodico. Ne segue il problema agli autovalori per l'hamiltoniana, i.e. la ricerca delle autofunzioni e degli autovalori dell'energia (stati stazionari di singolo elettrone). Questo problema è elegantemente risolto dal teorema di Bloch che è per così dire, la versione fisica del teorema di Floquet per le equazioni differenziali a coefficienti periodici (tale è l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo per un potenziale periodico). Per ora non entriamo nei dettagli per la dimostrazione del predetto teorema (lo faremo in un altro post), anche perché è intuitivamente ovvio. Infatti, se assumiamo un potenziale costante ovvero nullo giacché possiamo mettere dove ci pare lo zero dell'energia potenziale, le autofunzioni dell'energia dell'elettrone sono onde piane monocromatiche (cioè lunghezza d'onda definita => numero d'onde definito => impulso definito). Quale è l'immediata generalizzazione di un potenziale costante? Risposta: un potenziale periodico (nelle coordinate spaziali), in quanto quest'ultimo riprende sempre gli stessi valori.

Ne segue che le autofunzioni dell'energia sono ancora onde monocromatiche, ma modulate in ampiezza con inviluppo di modulazione periodico con la stessa periodicità dell'energia potenziale. Questo è, appunto, il teorema di Bloch, ed è facile verificare la soluzione. Ne consegue che il singolo elettrone può trovarsi, in generale, in una sovrapposizione quantica di onde di Bloch, e in una descrizione realistica l'elettrone è un pacchetto d'onde di Bloch che si propaga nel metallo. E ciò è il primo passo per spiegare la conducibillità elettronica dei metalli.

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