» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Il principio di equivalenza. Moto inerziale einsteiniano

Consideriamo una particella di prova in caduta libera (nel vuoto) nel campo gravitazionale terrestre. In generale, per il secondo principio della dinamica

Qui F è la risultante delle forze applicate. Ricordiamo che la relazione appena scritta non è altro che l'equazione differenziale del moto rispetto a un sistema di riferimento inerziale K. Nel caso in esame, l'unica forza agente sulla particella è il suo peso:

dove m_gr è la massa gravitazionale (che svolge il ruolo di carica gravitazionale), mentre g è l'accelerazione di gravità nel campo gravitazionale terrestre supposto uniforme. Segue

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[¯|¯] La metrica di Riemann e la metrica di Finsler

Riprendiamo l'espressione del quadrato dell'intervallo spaziotemporale quale generalizzazione della metrica di Minkowsky:

avendo posto per semplicità di notazione x=(x^α). Dalla equazione appena scritta vediamo che il ds² è una forma omogenea di primo grado, quadratica e indefinita. Più precisamente, con tale metrica lo spaziotempo diviene una varietà differenziabile pseudoriemanniana. Osserviamo poi che il ds² è automaticamente invariante per trasformazioni di coordinate. In seguito vedremo che tale invarianza conferisce al termine g_µν il carattere di tensore covariante di rango 2.
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