L'equazione d'onda di Klein-Gordon

Archive for the ‘Meccanica Quantistica’ Category

L'equazione d'onda di Klein-Gordon

giovedì, Aprile 22nd, 2021

Ricordiamo che lo stato quanto-meccanico di una particella nonrelativistica di massa m è una soluzione dell'equazione di equazione di Scrhoedinger che qui scriviamo in forma operatoriale:

dove

è l'operatore hamiltoniano, mentre ψ è la funzione d'onda della particella. Rammentiamo velocemente la rappresentazione dei vari operatori nella base delle coordinate

per cui ritroviamo la ben nota forma dell'equazione di Scrhödinger:

Per scrivere un'equazione d'onda relativistica, prendiamo spunto dalla seguente sostituzione formale:

Qui H è la funzione hamiltoniana della particella. Dalla meccanica relativistica, sappiamo che per una particella libera

onde

ossia

nota come equazione di Klein-Gordon. Si noti che se non ci fosse il terzo termine a primo membro, la K-G sarebbe la equazione di D'Alembert. Un'altra differenza notevole rispetto a quella di Schrödinger è che la K-G è del secondo ordine nella derivata temporale. E ciò presenterà problemi interpretativi
Dopo qualche manipolazione, si giunge all'equazione di continuità per la grandezza

Precisamente

Siamo tentati a chiamare ρ «densità di probabilità», ma la presenza della derivata seconda rispetto al tempo nella K-G porta a una inconsistenza. Precisamente, dal momento che l'equazione del secondo ordine e «somiglia» alla D'Alembert, si ha che un problema di Cauchy è caratterizzato da condizioni iniziali (con ovvio significato dei simboli):

dove le funzioni sono assegnate ad arbitrio. Ciò implica che la grandezza ρ non è definita positiva, per cui non è una densità di probabilità. Una possibile re-interpretazione consiste nel ridefinire:

essendo q la carica elettrica (eventualmente nulla) della particella. Siamo interessati alle soluzioni del tipo onda piana monocromatica che come è noto, sono stati quantistici con valore definito dell'impulso. Senza ledere la generalità, consideriamo il caso unidimensionale:

Cerchiamo soluzioni del tipo

Dopo qualche passaggio

Moltiplicando primo e secondo membro per la costante ridotta di Planck e rammentando la relazione tra pulsazione ed energia, e tra numero d'onde ed impulso, si ha

cioè proprio quello che ci si aspetta. Più precisamente, poniamo

Ne segue che allo stesso autovalore dell'impulso corrispondono due stati con energia diversa:

Precisamente:

Posted in Fisica Teorica, Meccanica Quantistica | No Comments »

Che cos'è la «realtà» quantistica?

lunedì, Marzo 22nd, 2021

roger penrose,la strada che porta alla realtà,funzione d'onda

Brano tratto da La strada che porta alla realtà di R. Penrose.

Facciamo un passo indietro da questi argomenti dettagliati e chiediamoci: cosa tenta di dirci tutto questo sulla «realtà»? Le osservabili quantistiche sono «cose reali»? Gli stati sono «reali»? O dovremmo dire di aver raggiunto la realtà soltanto quando siamo arrivati alle grandezze apparentemente «classiche» che hanno origine come autovalori delle osservabili quantistiche (o di altri operatori)? In effetti, i fisici quantistici tendono a non essere molto chiari su questo argomento. La maggior parte è visibilmente a disagio nell'affrontare la questione della «realtà». Possono proclamare di assumere la cosiddetta posizione «positivistica» e rifiutarsi di affrontare il problema riguardo al significato di «realtà», ritenendolo un problema «non scientifico». Possono affermare che tutto quello che dobbiamo chiedere al nostro formalismo sia dare risposte alle appropriate domande che possiamo porre a un sistema, e che queste risposte siano in accordo con i fatti sperimentali.

(altro…)