» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

L'universo non perde massa a causa della Cosmic Background Radiation

sabato, Marzo 20th, 2021

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Riprendiamo l'esercizio sulla lampadina. Immaginiamo di avere una resistenza ohmica R. Come è noto, se non applichiamo una differenza di potenziale ai capi di R e mantenendo chiuso il circuito, la resistenza è attraversata da una corrente di rumore (è il cosiddetto rumore Johnson). Lo spettro di potenza (i.e. la potenza emessa per intervallo unitario di frequenza) è:

dove T è la temperatura di equilibrio termodinamico del materiale che cositutuisce la resistenza. Qui f è la "frequenza" determinata dall'analisi spettrale eseguita attraverso teorema di Wiener--Khintchine. Più precisamente:

essendo Δf la banda di rumore. Ricordiamo che ciò è lo spettro di potenza di un rumore bianco (white noise) Integrando otteniamo la potenza di rumore:

Ne segue l'energia dissipata dopo un intervallo di tempo t

Se m è la massa inerziale del materiale che cositutuisce la resistenza, al tempo t si avrà una riduzione di massa inerziale secondo la seguente legge:

Considerando l'ordine di grandezza delle costanti fisiche in gioco, la predetta riduzione è trascurabilmente piccola anche a tempi lunghi.

Ciò premesso, analoghe considerazioni valgono per un corpo nero (CN da qui in poi). Lo spettro di potenza (per unità di superficie) è

È banale osservare che ν è la frequenza dei fotoni emessi, e non ha nulla a che fare con la frequenza f nel caso della resistenza. Si tratta ovviamente di due processi fisici ben diversi. Nel corpo nero abbiamo un «gas» di fotoni in equilibrio termico con le pareti del contenitore che realizza il CN, mentre nel caso della resistenza abbiamo un meccanismo microscopico che coinvolge gli elettroni di conduzione e che presenta analogie con il moto browniano. Integrando otteniamo la potenza emessa dall'unità di superficie del CN:

Ricordiamo che σ è la costante di Stefan-Boltzmann:

Ne segue che la riduzione della massa del CN al tempo t, è

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The Cosmic Background Radiation (CBR or CMBR)

mercoledì, Marzo 10th, 2021

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The study of the black body emission spectrum is also fundamental in Cosmology, in the sense that our universe emits electromagnetic radiation having the spectrum of a black body in thermodynamic equilibrium at the temperature T0=2.7K.
Let's proceed in order.

In 1964, physicists Arno Penzias and Robert Woodrow Wilson were working for a telephone company, trying to implement a technology for using microwaves. In this circumstance the two encountered the reception of a signal dominated by a noise. The cleaning of the pigeon dung from the antenna had no effect, so Pensias and Wilson established the existence of a signal coming from a different direction in the celestial sphere, by virtue of the isotropy of the signal itself (rotating the antenna intensity did not decrease). A more detailed analysis showed that it was the emission of a black body in equilibrium at ~3K , for which the maximum peak corresponded to a wavelength of the microwave spectrum. In this regard, we recall the relation established above:

so knowing the equilibrium temperature we can determine the wavelength corresponding to the emission peak. More accurate measurements give as equilibrium temperature:

Then expressing the spectral power density emitted per unit area, as a function of the wavelength λ=c/ν

plotted in fig. 1.

In any model of an expanding universe, such a low temperature is equivalent to asserting the existence of an epoch in which the temperature was extremely higher (theoretically infinite). In terms of observational data, this constituted evidence for the existence of a "hot" beginning of the universe (hot big-bang).

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Lo studio dello spettro di emissione del corpo nero è fondamentale anche in Cosmologia, nel senso che il nostro universo emette radiazione elettromagnetica avente lo spettro di un corpo nero in equilibrio termodinamico alla temperatura T₀=2.7K .
Procediamo con ordine.
Nel 1964 i fisici Arno Penzias e Robert Woodrow Wilson lavoravano per una compagnia di telefoni, cercando di implementare un tecnologia per l'utilizzo delle microonde. In tale circostanza i due si imbatterono nella ricezione di un segnale dominato da un noise. La pulizia dell'antenna dallo sterco dei piccioni non sortì effetti, per cui Pensias e Wilson stabilirono l'esistenza di un segnale proveniente non da una direzione assegnata nella sfera celeste, in virtù dell'isotropia del segnale medesimo (ruotando l'antenna l'intensità non diminuiva). Un'analisi più dettagliata mostrò che si trattava dell'emissione di un corpo nero in equilibrio a ~3K , per cui il picco massimo corrispondeva a una lunghezza d'onda dello spettro delle microonde. Ricordiamo a tale proposito la relazione stabilita in precedenza:

per cui conoscendo la temperatura di equilibrio possiamo determinare la lunghezza d'onda corrispondente al picco di emissione. Misure più accurate forniscono come temperatura di equilibrio:

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