» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

L'universo non perde massa a causa della Cosmic Background Radiation

Marzo 20th, 2021 | by Marcello Colozzo |

---

Riprendiamo l'esercizio sulla lampadina. Immaginiamo di avere una resistenza ohmica R. Come è noto, se non applichiamo una differenza di potenziale ai capi di R e mantenendo chiuso il circuito, la resistenza è attraversata da una corrente di rumore (è il cosiddetto rumore Johnson). Lo spettro di potenza (i.e. la potenza emessa per intervallo unitario di frequenza) è:

dove T è la temperatura di equilibrio termodinamico del materiale che cositutuisce la resistenza. Qui f è la "frequenza" determinata dall'analisi spettrale eseguita attraverso teorema di Wiener--Khintchine. Più precisamente:

essendo Δf la banda di rumore. Ricordiamo che ciò è lo spettro di potenza di un rumore bianco (white noise) Integrando otteniamo la potenza di rumore:

Ne segue l'energia dissipata dopo un intervallo di tempo t

Se m è la massa inerziale del materiale che cositutuisce la resistenza, al tempo t si avrà una riduzione di massa inerziale secondo la seguente legge:

Considerando l'ordine di grandezza delle costanti fisiche in gioco, la predetta riduzione è trascurabilmente piccola anche a tempi lunghi.

Ciò premesso, analoghe considerazioni valgono per un corpo nero (CN da qui in poi). Lo spettro di potenza (per unità di superficie) è

È banale osservare che ν è la frequenza dei fotoni emessi, e non ha nulla a che fare con la frequenza f nel caso della resistenza. Si tratta ovviamente di due processi fisici ben diversi. Nel corpo nero abbiamo un «gas» di fotoni in equilibrio termico con le pareti del contenitore che realizza il CN, mentre nel caso della resistenza abbiamo un meccanismo microscopico che coinvolge gli elettroni di conduzione e che presenta analogie con il moto browniano. Integrando otteniamo la potenza emessa dall'unità di superficie del CN:

Ricordiamo che σ è la costante di Stefan-Boltzmann:

Ne segue che la riduzione della massa del CN al tempo t, è

Questo risultato è interessante perché dalla cosmologia sappiamo che l'universo emette come un CN alla temperatura (attuale) T₀ di circa 2.75 K. Quindi la potenza emessa per «unità di volume» di universo è

Qui il pedice r sta per "radiazione". D'altra parte, in epoche cosmologiche precedenti (t < t0, essendo t0 l'epoca cosmologica «attuale») è T > T0, e subito dopo il big-bang

Quindi

Siamo tentati a scrivere l'eq. scritta più sopra in ambito cosmologico. Cioè, denotando con M la «massa totale» dell'universo in un istante iniziale assegnato, si ha in un istante finale successivo la seguente riduzione di massa:

Il problema è specificare M. Asserire che stiamo ragionando in ambito cosmologico, equivale a utilizzare la Relavità generale, e quindi le equazioni di Einstein che qui non scriviamo. Ricordiamo solo che a primo membro ci sono grandezze geometriche, mentre a secondo membro troviamo grandezze fisiche per ciò che riguarda una rappresentazione fenomenologica della materia. Siccome ci stiamo riferendo all'universo quale sistema fisico, la materia viene idealizzata attraverso un fluido perfetto distribuito isotropicamente nello spazio fisico. La densità di energia di tale fluido è ρc². Notiamo che &rho dipende dal tempo t («tempo universale» nella metrica di Robertson-Walker) a causa dell'espansione dell'universo. Tuttavia, con buona approssimazione si potrebbe scrivere in luogo della precedente:

dove σ'=(4/c)σs. Ciò avrebbe senso se esistesse un ambiente «fuori dell'universo». In tal caso l'energia emessa per viene assorbita dall'ambiente. Ma per definizione, fuori dell'universo non esiste alcun ambiente, per cui la predetta relazione non è corretta. Incidentalmente, la "riduzione"

esprime il contributo alla densità totale ρ proveniente dai fotoni. Infatti, in generale si scrive (per una assegnata epoca cosmologica):

dove i puntini rappresentano altri contributi come ad esempio, quello proveniente dalla materia barionica e quello dei neutrini. Naturalmente ce ne sono altri come quello della famigerata materia oscura.

Tags: Cosmic Background Radiation, radiazione di fondo cosmico, universo

Articoli correlati