Integrazione per serie di un'equazione differenziale
venerdì, Dicembre 10th, 2021
Studiamo il metodo di integrazione per serie di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, in un intorno di un punto ordinario/a> x0. A tale scopo, enunciamo senza dimostrare il teorema:
Teorema
L'integrale generale dell'equazione differenziale
in un intorno di un punto regolare x0, si esprime come
dove i coefficienti a0,a1 della serie di potenze al primo membro, sono costanti arbitrarie, mentre il sistema di integrali {y1(x),y2(x)} è linearmente indipendente.
Esercizio
Risolvere l'esercizio rappresentato in fig. 1.
Soluzione
Il punto x=0 è manifestamente un punto ordinario, per cui scriviamo l'espansione in serie di potenze dell'integrale generale:
Ora non dobbiamo fare altro che derivare termine a termine per due volte, dopodiché immettere i rispettivi sviluppi in serie nell'equazione assegnata. Abbiamo:
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