» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie piana

venerdì, Novembre 8th, 2019

L'esercizio di Analisi vettoriale che proponiamo in questo post rappresenta una buona occasione per ripassare gli integrali di superficie. Bisogna infatti, calcolare il flusso di un vettore attraverso la superficie di una porzione di piano (fig. 1). Verranno utilizzate formule di geometria differenziale per ciò che riguarda la determinazione dell'elemento di superficie, anche se poi quest'ultimo può essere calcolato quasi al "volo", come illustrato nella predetta figura, tenendo a mente la nozione di "coseni direttori" di una retta orienta (geometria analitica).
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[¯|¯] Il Teorema della divergenza in coordinate sferiche

giovedì, Novembre 7th, 2019

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Esercizio
Assegnato il campo vettoriale in coordinate sferiche

verificare il teorema della divergenza per il seguente dominio

per un'assegnata colatitudine θ₀, come illustrato in fig. 1

Soluzione

Rammentando l'espressione dell'elemento di volume in coordinate sferiche, si ha che il teorema della divergenza nel caso in esame si scrive:

Poniamo

Per determinare la divergenza del campo vettoriale assegnato, utilizziamo la nota formula

ottenendo

Segue

Cioè

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