» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Cos'è la divergenza di un campo vettoriale?

domenica, Dicembre 18th, 2022

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Esercizio
Dimostrare la formula riportata in fig. 1.

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Soluzione

Rammentiamo innanzitutto il teorema della divergenza:

essendo D un dominio regolare di R³, mentre n e dσ sono rispettivamente la normale esterna e l'elemento di superficie della frontiera di D.
Osservazione
Sul "Smirnov" (fig. 1 tale teorema è noto come «formula di Ostrogradskij».)
Come è noto, il secondo membro del teorema della divergenza è il flusso del vettore A uscente dalla frontiera di D:

Assumendo assegnato D e quindi una qualche rappresentazione (implicita, parametrica, etc.) della superficie "frontiera di D", è in linea di principio possibile esprimere l'elemento di superficie vettoriale ndσ, dopodiché calcolare l'integrale di superficie ridotto a un ordinario integrale doppio.
Ciò premesso, fissato ad arbitrio un dominio T contenuto in D, per il teorema della media integrale:

per cui

Fissato ad arbitrio P in T e contraendo T su Q, necessariamente Q->P, cosicché

Questa operazione di passaggio al limite suggerisce la seguente definizione:

essendo il numeratore a secondo membro il flusso di A attraverso una «piccola superficie» (i.e. al limite infinitesima) che racchiude il punto P in cui calcoliamo divA.

(altro…)

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Elemento di superficie in coordinate sferiche

sabato, Dicembre 17th, 2022

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Abbiamo visto che il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche ρ(x) è

Soluzione
Siamo in coordinate sferiche. In dS₁ la coordinata φ è costante (φ=π/3), mentre r,θ sono variabili. I lati del «rettangolino infinitesimo» di area dS₁ sono rdθ,dr. Quindi dS₁=rdrdθ. Con dS₂ è conveniente riferirsi all'angolo solido dΩ=sinθdθdφ:

Per rispondere al secondo quesito scriviamo:

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