» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Zero-detector per funzioni armoniche (ricerca di zeri tramite integrazione)

Immaginiamo virtualmente un omino che vaga nel piano cartesiano xy, alla disperata ricerca degli zeri di una assegnata funzione armonica f(x,y). Non riuscendo a determinare gli zeri per "forza bruta" cioè risolvendo l'equazione f(x,y)=0, l'omino ha con sé uno zero-detector che funziona nella seguente maniera: se l'omino inciampa su uno zero, cioè ci sta proprio sopra, il detector emetterà il classico bip-bip-bip... Se, invece, si trova a una distanza R non ci sarà alcun bip bip, anche per valori arbitrariamente piccoli di R. Allora, l'omino non dovrà fare altro che un giro tondo attorno allo zero, cioè mantenendosi a distanza R, e integrando la funzione lungo il percorso (assumendo che f sia continua). A fine percorso, il detector "erutterà" nuovamente il bip-bip, segno che nel centro della circonferenza, c'è uno zero. Alternativamente, può integrare sul cerchio di raggioi R, ritrovando nuovamente zero.

Scherzosamente, abbiamo illustrato due importanti teoremi sulle funzioni armoniche. Il primo è il Teorema della media di Gauss.

Il secondo, invece, conserva le ipotesi del primo, con tesi: