» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Integrale curvilineo su un arco di cicloide

mercoledì, Dicembre 7th, 2016

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Esercizio
Scrivere l'espressione generale dell'integrale curvilineo:

dove il cammino di integrazione è il primo arco di cicloide:

mentre f(x,y) è un qualunque elemento di C¹(A), essendo A un campo di R² contenente γ. Calcolarne poi il valore numerico per f(x,y)=y².

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Soluzione
Le equazioni parametriche date descrivono il primo arco di parabola per t tra 0 e 2 pi. Calcoliamo le derivate delle funzioni x(t),y(t):

ottenendo per la funzione H(t):

Osserviamo che

essendo O e P gli estremi del cammino di integrazione.
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[¯|¯] Integrale curvilineo lungo un arco di evolvente di una circonferenza

martedì, Dicembre 6th, 2016

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Esercizio
Calcolare l'integrale curvilineo:

dove il cammino di integrazione è parametricamente rappresentato da

da cui vediamo che è l'evolvente della circonferenza di centro (0,0) e raggio R. (cfr. fig.1)

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Soluzione
Abbiamo

Al solito, calcoliamo la funzione H(t) (che Mathematica chiama ArcLenghtFactor):

calcolando prima le derivate delle funzioni x(t)e y(t), ottenendo infine:

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