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Derivato di un insieme. Punti di aderenza. Insiemi compatti

Febbraio 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |

derivato di un insieme,punti di aderenza,insiemi compatti
Fig. 1


Definizione
Comunque prendiamo un insieme X, si dice derivato di X l'insieme dei suoi punti di accumulazione al finito (fig.1 )

Definizione
Un insieme X è chiuso se contiene il proprio derivato:



Ne segue che X è chiuso in uno dei due casi: 1) X è privo di punti di accumulazione al finito; 2) X ammette punti di accumulazione al finito, i quali appartengono a X.
Ad esempio, l'insieme N degli interi naturali è chiuso, giacché è privo di punti di accumulazione al finito. Tuttavia, è facile persuadersi che +oo è di accumulazione per N. Alla stesso modo, l'insieme Z degli interi relativi è chiuso. Gli unici punti di accumulazione sono all'infinito: +oo e -oo.

Segue immediatamente la proposizione: Il derivato di un qualunque insieme è chiuso.
Definiamo


Se x0 appartiene a X significa che si verifica uno dei seguenti casi: 1) x0 è punto isolato; x0 è punto di accumulazione al finito appartenente a X; 3)x0 è punto di accumulazione al finito non appartenente a X.

Definizione
Si dice che x0 è un punto di aderenza per X. L'insieme X si dice l'di aderenza di X.


Enunciamo senza dimostrare: l'aderenza di un qualunque insieme X è un insieme chiuso. Inoltre X è chiuso se e solo se coincide con la propria aderenza. Utilizzando un linguaggio suggestivo ma efficace, possiamo dire che l'aderenza di X è il più piccolo insieme chiuso contenente X. E per questa ragione l'aderenza di chiama anche la chiusura di X.
Un insieme X si dice compatto se è chiuso e limitato. Ad esempio, un qualunque intervallo [a,b] è un insieme compatto.


Definition
However we take a set X, the set of its accumulation points (at the finite) is said the derivative of X (fig.1).

Definition
A set X is closed if it contains its own derivative:


It follows that X is closed in one of two cases: 1) X has no points of accumulation at the finite; 2) X admits finite accumulation points, which belong to X.
For example, the set N of natural integers is closed, since it has no finite accumulation points. However, it is easy to persuade that + oo is accumulation for N. Similarly, the set Z of relative integers is closed. The only accumulation points are infinity: + oo and -oo.
The proposition immediately follows: The derivative of any set is closed.
We define


If x0 belongs to X it means that one of the following occurs: 1) x0 is an isolated point; x0 is the finite accumulation point belonging to X; 3) x0 is a finite accumulation point not belonging to X.

Definition
X0 is said to be an adhesion point for X. The set X is called the adhesion of X.


We state without proving: the adherence of any set X is a closed set. Furthermore X is closed if and only if it coincides with its own adherence. Using a suggestive but effective language, we can say that the adhesion of X is the smallest closed set containing X. And for this reason the adhesion also calls the closure of X.
A set X is said to be compact if it is closed and bounded. For example, any interval [a, b] is a compact set.

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