» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Fattore integrante

giovedì, Agosto 24th, 2017

Sia data l'equazione differenziale del primo ordine di forma normale:

La funzione reale f è definita nel dominio rettangolare D=[a,b]×[α₀,ß0₀]. L'equazione differenziale assegnata è lineare se la funzione f(x,y) è lineare in y. Cioè:

Le funzioni α(x) e ß(x) sono definite in X=[a,b]. Quindi:

Diremo che l'equazione è lineare ed omogenea se ß(x) è identicamente nulla, onde:

che si integra per separazioni di variabili. Quindi consideriamo il caso non omogeneo con α(x) e ß(x) funzioni continue in X. Moltiplichiamo primo e secondo membro di

per

si ha

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[¯|¯] Integrazione per trasformazione di coordinate

martedì, Agosto 22nd, 2017

Sia data l'equazione differenziale del primo ordine di forma normale:

essendo

Nel piano cartesiano xy consideriamo le rette:

Segue che r1 e r2 non sono parallele e non passano per l'origine, onde si intersecano in un punto Ω(α,ß) appartenente a R²-{(0,0)}. Le coordinate (α,ß) sono le soluzioni del sistema di Cramer:

Risolvendo con l'omonima regola:

Eseguiamo, quindi, il cambiamento di riferimento cartesiano R(Oxy)->R'(Ωξη) attraverso la trasformazione di coordinate:

da cui

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