[¯|¯] Integrazione per trasformazione di coordinate

Agosto 22nd, 2017 | by Marcello Colozzo |

Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali
Fig. 1. Alcune curve integrali di y'=(x-y+1)/(x+y-1)


Sia data l'equazione differenziale del primo ordine di forma normale:
Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

essendo
Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

Nel piano cartesiano xy consideriamo le rette:

Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

Segue che r1 e r2 non sono parallele e non passano per l'origine, onde si intersecano in un punto Ω(α,ß) appartenente a R²-{(0,0)}. Le coordinate (α,ß) sono le soluzioni del sistema di Cramer:

Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

Risolvendo con l'omonima regola:

Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

Eseguiamo, quindi, il cambiamento di riferimento cartesiano R(Oxy)->R'(Ωξη) attraverso la trasformazione di coordinate:

Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

da cui
Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali










Inoltre

Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

Allo stesso modo

Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

In definitiva, nel sistema di coordinate R'(Ωξη) l'equazione differenziale data si scrive:

Integrazione per trasformazione di coordinate,equazioni differenziali

che si risolve con la sostituzione τ=η/ξ.


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