Integrazione per serie di un'equazione differenziale

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Integrazione per serie di un'equazione differenziale

venerdì, Dicembre 10th, 2021

integrazione per serie,equazioni differenziali,punto regolare — **Fig. 1**

Studiamo il metodo di integrazione per serie di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, in un intorno di un punto ordinario/a> x₀. A tale scopo, enunciamo senza dimostrare il teorema:
Teorema
L'integrale generale dell'equazione differenziale

in un intorno di un punto regolare x₀, si esprime come

dove i coefficienti a₀,a₁ della serie di potenze al primo membro, sono costanti arbitrarie, mentre il sistema di integrali {y₁(x),y₂(x)} è linearmente indipendente.

Esercizio

Risolvere l'esercizio rappresentato in fig. 1.

Soluzione

Il punto x=0 è manifestamente un punto ordinario, per cui scriviamo l'espansione in serie di potenze dell'integrale generale:

Ora non dobbiamo fare altro che derivare termine a termine per due volte, dopodiché immettere i rispettivi sviluppi in serie nell'equazione assegnata. Abbiamo:

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[¯|¯] Coronavirus: equazione differenziale stocastica nonlineare

martedì, Marzo 3rd, 2020

Il modello precedente ha un difetto: la linearità. Infatti, l'equazione differenziale

anche se contiene la variabile aleatoria g(t), è comunque lineare nella funzione incognita N(t). Per rendere più realistico il modello, aggiungiamo un termine nonlineare. Precisamente, scomponiamo il secondo membro in due contributi: il primo proveniente dall'azione farmacologica (in eventuale concomitanza con altre azioni preventive), mentre il secondo descrive l'evoluzione libera. Abbiamo