Criterio generale di convergenza e suo corollario. La serie armonica

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Criterio generale di convergenza e suo corollario. La serie armonica

martedì, Ottobre 5th, 2021

serie numeriche,citerio generale di convergenza,serie armonica — **Fig. 1**

Riprendiamo la lezione precedente, dimostrando il Criterio generale di convergenza, enunciato in fig. 1.
Dim.

La serie assegnata converge se e solo se converge la successione delle sue somme parziali (vedi lim. fig. 1). Per il criterio di convergenza di Cauchy:

Osserviamo che l'intero naturale p=M-N è arbitrario giacché tali sono M,N. Quindi

cioè l'asserto.

Dal teorema appena dimostrato segue il corollario:
Teorema

Dim.

Per ipotesi la serie converge, quindi per il criterio generale di convergenza con p=1:

cioè l'asserto.

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Serie numeriche. Definizioni e prime proprietà

martedì, Ottobre 5th, 2021

serie numeriche,convergenza,somma,serie geometrica

Assegnata una successione di elementi di R:

la notazione

rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri u₀,u₁,...,u_n,.... Per assegnare un significato al simbolo

procediamo con un'operazione di passaggio al limite, definendo dapprima la somma parziale di ordine N:

quale elemento della successione di elementi di R:

È intuitivamente ovvio che il significato del simbolo con la sommatoria da 0 a +oo, è univocamente determinato dal comportamento all'infinito della successione delle somme parziali. Diremo, dunque, che il predetto simbolo è una serie numerica o semplicemente, una serie.
Definizione
La serie assegnata è convergente se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

Il numero reale S è la somma della serie e si scrive:

La serie assegnata è divergente se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

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