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Criterio generale di convergenza e suo corollario. La serie armonica

Ottobre 5th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Riprendiamo la lezione precedente, dimostrando il Criterio generale di convergenza, enunciato in fig. 1.
Dim.

La serie assegnata converge se e solo se converge la successione delle sue somme parziali (vedi lim. fig. 1). Per il criterio di convergenza di Cauchy:

Osserviamo che l'intero naturale p=M-N è arbitrario giacché tali sono M,N. Quindi

cioè l'asserto.

Dal teorema appena dimostrato segue il corollario:
Teorema

Dim.

Per ipotesi la serie converge, quindi per il criterio generale di convergenza con p=1:

cioè l'asserto.

Si noti che il teorema non si inverte, per cui abbiamo un criterio necessario ma non sufficiente per la convergenza di una serie:

Precisamente, condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie, è che la successione i cui termini sono i termini della serie, sia infinitesima. Consideriamo, ad esempio la serie armonica:

Abbiamo

ma la serie non converge. Per mostrare ciò, applichiamo il criterio generale di convergenza con p=n:

per cui

D'altra parte, la successione delle somme parziali è crescente:

per cui

Ne concludiamo che la serie armonica è positivamente divergente:

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