Somma delle aree e dei perimetri di infiniti quadrati ottenuti per ricorsione

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Somma delle aree e dei perimetri di infiniti quadrati ottenuti per ricorsione

martedì, Ottobre 12th, 2021

Esercizio tratto (e modificato) dal Gizzetti. La soluzione è nostra.

È dato un quadrato Q₀ di lato a. Si consideri il quadrato Q₁ che ha come vertici i punti medi dei lati di Q₀, poi il quadrato Q₂ avente per vertici i punti medi dei lati di Q1 (fig. 1). Iterando il procedimento si perviene a una successione di quadrati:

ciascuno dei quali è contenuto nel precedente. Dimostrare che la somma dei perimetri e delle aree degli infiniti quadrati ottenuti con tale procedimento ricorsivo, hanno entrambe un valore finito.

Soluzione

È nota la lunghezza a del lato del quadrato Q₀. Guardando la fig. 1 si perviene alla lunghezza del lato di Q₁

e del lato di Q₂:

Ne segue il lato di Q_n

Perimetro e area del quadrato n-esimo sono dunque:

La somma dei perimetri è

giacché abbiamo una serie geometrica convergente. Quindi

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Somma di infiniti segmenti (serie geometrica)

lunedì, Ottobre 11th, 2021

convergenza di una serie,somma di infiniti segmenti — **Fig. 1**

Siano r ed s due rette complanari e non parallele. Denotando con O il punto di intersezione (fig. 1), chiamiamo α l'angolo acuto tra le predette rette (escludiamo pertanto, il caso di perpendicolarità).
Assegnato unu punto P₀ di r distinto da O, indichiamo con P₁ il piede della perpendicolare abbassata da P₀ su s, e con P₂ il piede della perpendicolare abbassata da P₁ su r. L'iterazione di tale procedimento genera una successione di punti:

tale che

Si determini la somma delle lunghezze dei segmenti:

supponendo nota la lunghezza del segmento iniziale OP₀.

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