Somma di infiniti segmenti (serie geometrica)

Ottobre 11th, 2021 | by Marcello Colozzo |

convergenza di una serie,somma di infiniti segmenti — **Fig. 1**

Siano r ed s due rette complanari e non parallele. Denotando con O il punto di intersezione (fig. 1), chiamiamo α l'angolo acuto tra le predette rette (escludiamo pertanto, il caso di perpendicolarità).
Assegnato unu punto P₀ di r distinto da O, indichiamo con P₁ il piede della perpendicolare abbassata da P₀ su s, e con P₂ il piede della perpendicolare abbassata da P₁ su r. L'iterazione di tale procedimento genera una successione di punti:

tale che

Si determini la somma delle lunghezze dei segmenti:

supponendo nota la lunghezza del segmento iniziale OP₀.

Soluzione

Poniamo

Con tale posizione, la successione di punti P₀, P₁,...,P_n,... determina univocamente la successione di numeri reali

L'esercizio chiede di calcolare la somma della serie numerica:

Per quanto precede, le grandezze note sono l₀,α, per cui dobbiamo esprimere il termine generico della serie in funzione di queste ultime. Dalla fig. 1: