» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Grafico di una corrispondenza

domenica, Giugno 17th, 2018

Definizione
Comunque prendiamo gli insiemi A e B, sono univocamente determinate le seguenti applicazioni:

che si chiamano rispettivamente prima proiezione e seconda proiezione associate al prodotto cartesiano A×B. Evidentemente:

Proposizione
Le proiezioni π1 e π2 sono applicazioni suriettive.

Dimostrazione
Le immagini di A×B mediante le singole proiezioni sono rispettivamente

onde l'asserto.

Ciò premesso, sussiste la seguente definizione
Definizione
Dicesi grafico di una corrispondenza da S verso S'

l'insieme

Cioè il grafico di una corrispondenza da S verso S', è un particolare sottoinsieme di S×S'. Ci si può chiedere se sia vero il viceversa. La risposta è affermativa ed è fornita dalla seguente proposizione:
Proposizione
Un qualunque sottoinsieme F (non vuoto) di S×S', è il grafico di una corrispondenza da S verso S'

data da

Dimostrazione
Per definizione di controimmagine:

Definiamo

Segue

o ciò che è lo stesso

È quindi definita la corrispondenza

onde l'asserto.

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[¯|¯] Coppie ordinate, n-ple ordinate. Prodotto cartesiano

sabato, Giugno 16th, 2018

Definizione
Dicesi coppia ordinata l'insieme costituito da due elementi a e b (non necessariamente distinti) dati in quest'ordine. Una coppia ordinata si denota con (a,b).
Tale definizione implica

Ad esempio

mentre

Definizione
L'uguaglianza di due coppie ordinate (a,b) e (a',b') è definita dalla condizione (a,b)=(a',b')<=> a=a',b=b'

Definizione
Dicesi n-pla ordinata l'insieme costituito da n elementi a₁,a₂,...,a_n (non necessariamente distinti) dati in quest'ordine. Una n-pla ordinataordinata si denota con (a₁,a₂,...,a_n).

In base a questa definizione si ha, ad esempio:

Definizione
L'uguaglianza di due n-ple ordinate(a₁,a₂,...,a_n), b₁,b₂,...,b_n
è definita dalla condizione:

Definizione
Assegnati gli insiemi A e B, dicesi prodotto cartesiano o prodotto combinatorio di A per B, l'insieme

Proposizione
Il prodotto cartesiano di A per B non verifica la proprietà commutativa. Cioè

avendosi

Dimostrazione
L'asserto discende dalla definizione di coppia ordinata:

Il prodotto cartesiano si generalizza a n>=2 insiemi A₁,A₂,...,A_n:

In particolare, se A₁=A₂=...=A_n

avendosi

Cioè Aⁿ è l'insieme delle n-ple ordinate di elementi di A. Si pone per definizione:

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