» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Differenza di due insiemi. Insieme complementare

Definizione
Assegnato un insieme S contenente un insieme A, dicesi complementare di A inS, la differenza di S da A:

cioè

Dimostrazione
Per definizione di complementare:

Proposizione

Dimostrazione
Passiamo al complementare:

Per quanto precede:

Perciò

Posto

si ha

cioè l'asserto.

Proposizione

Dimostrazione
Per la proprietà di inclusione

Passando al complementare

onde l'asserto.

Le proposizioni appena dimostrate si generalizzano all'unione e all'intersezione di una famiglia di insiemi:

Proposizione
Comunque prendiamo una famiglia di insiemi {A_k}, si ha:

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[¯|¯] Spunta nuovamente il paradosso di Russell

dipendente dall'insieme di indici K, è univocamente determinata da una legge che associa ad ogni k di K, un insieme A_k. Tale ente è simboleggiato da

Ciò premesso, sussiste la seguente definizione:
Definizione
Chiamasi unione degli insiemi della famiglia {A_k}, l'insieme:

o ciò che è lo stesso

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