» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitiva, antisimmetrica

giovedì, Giugno 21st, 2018

In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:

Posto

scriviamo

che si legge "x è in relazione con x'".








Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa

ove

Definizione
Chiamiamo ρ^-1 relazione inversa

Proposizione
Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.

Dimostrazione

Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.

1. Proprietà riflessiva
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
   

2. Proprietà simmetrica
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
   

3. Proprietà antisimmetrica
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
   

4. Proprietà transitiva
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se
   

Vai alla lezione successiva

---

---

---

Posted in Algebra | No Comments »

[¯|¯] Grafico di un'applicazione

mercoledì, Giugno 20th, 2018

Definizione
Dicesi grafico di un'applicazione f:S->S', l'insieme


Lemma
Comunque prendiamo un'applicazione f:S->S', l'insieme

è costituito da un solo elemento.

Dimostrazione
La controimmagine di π₁ è:

Segue

onde l'asserto.

In base a tale lemma, si ha la seguente proposizione la cui dimostrazione è immediata:
Proposizione
Un qualunque sottoinsieme Γ di S×S' tale che

è costituito da un solo elemento, è il grafico di un'applicazione.

Sostienici

Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.

---

---

---

Posted in Algebra | No Comments »