» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Omomorfismi ed endomorfismi non singolari. Il caso delle rotazioni nello spazio euclideo

venerdì, Dicembre 16th, 2016

Siano E ed F due spazi vettoriali sullo stesso campo K.
Definzione
L'omomorfismo A è non singolare se kerA={0_E}, essendo 0_E il vettore nullo di E.
In altri termini, A è non singolare se

dove 0_F il vettore nullo di F. Per un noto teorema un omomorfismo suriettivo è un isomorfismo se e solo se è iniettivo, e ciò a sua volta implica kerA={0_E}, i.e. la non singolarità di A. Ne concludiamo che la non singolarità è una condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché E ed F siano isomorfi.

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Esercizio
Sia R(Oxyz) un riferimento cartesiano ortogonale dello spazio euclideo R³. La rotazione di un qualunque vettore &csi;=(x,y,z)di R³ attorno all'asse z, è il risultato dell'applicazione di un endomorfismo R_z:

essendo θ l'angolo di rotazione, contato positivamente se la rotazione vista da un osservatore disposto lungo la direzione positiva dell'asse z, è antioraria.
Mostrare che tale endomorfismo è non singolare.

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Soluzione
L'immagine di R_z è:

dove {e_i} è la base canonica di R³:

Quindi

Da ciò segue che la matrice rappresentativa di R_z nella base canonica si scrive:

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[¯|¯] Endomorfismo che opera su matrici in ambiente Mathematica

giovedì, Dicembre 15th, 2016

Vediamo come risolvere l'esercizio precedente con Mathematica. Tale software ben si presta alla risoluzione di simili esercizi, giacchè interpreta vettori, matrici e oggetti più complicati (tensori) come delle liste "di liste". Innanzitutto definiamo la matrice M:

Scriviamo la più generale matrice X

L'endomorfismo assegnato si scrive:

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