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[¯|¯] Tensori completamente simmetrici

Definizione
Il tensore T si dice completamente simmetrico se la predetta applicazione è invariante rispetto a una qualunque permutazione dei suoi argomenti v₁,v₂,...,v_r.

Tale definizione si generalizza immediatamente ai tensori controvarianti di rango qualsiasi. Inoltre, essa ha carattere intrinseco, ossia indipendente dalla base. Viceversa, il riferimento a una base restituisce la proposizione:
Proposizione
Un tensore r-covariante (o r-controvariante) è completamente simmetrico, se e solo se comunque prendiamo una base dello spazio vettoriale a cui esso appartiene, le sue componenti sono invarianti rispetto a una qualunque permutazione degli indici.

Dim.

Senza perdita di generalità, consideriamo un tensore doppio covariante:

Comunque prendiamo una base {e_i} di E_n, è univocamente determinata la base duale {θ^j}

e quindi la seguente base di

cioè

cosicché

Ne consegue

ovvero

Dal momento che i,k sono indici muti (quindi possiamo chiamarli come ci pare):

Sottraendo membro a membro le equazioni scritte sopra:

Cioè

Osservazione
Per un tensore di rango 2 (covariante o controvariante) la completa simmetria è semplicemente una "simmetria", giacchè abbiamo solo 2 indici.

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