» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Algebra multilineare. Tensore covariante di rango 2

mercoledì, Maggio 31st, 2017

Assegnato uno spazio vettoriale E su K, la più generale forma lineare (o 1-forma) si scrive:

ove n=dimE. Tale nozione si generalizza definendo una forma multilineare. Precisamente, la legge:

si generalizza in

Per p=2 abbiamo una forma bilineare (o 2-forma):

Nulla ci impedisce di considerare spazi vettoriali diversi:

dove i pedici denotano la dimensionalità dei singoli spazi:

Segue

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[¯|¯] Vettori covarianti e vettori controvarianti

mercoledì, Maggio 31st, 2017

Nei numeri precedenti (qui e qui) abbiamo visto che a un assegnato spazio vettoriale E possiamo associare univocamente il suo duale E^*. Esaminiamo come si trasformano i vettori di quest'ultimo in seguito a un cambiamento di base. Partiamo innanzitutto dallo spazio vettoriale E (sul campo K) eseguendo il cambiamento di base:

Esprimiamo i vettori della nuova base {e'_i} come combinazione lineare dei vettori della vecchia base {e_i}:

Al solito, stiamo utilizzando la convenzione di Einstein di somma sugli indici ripetuti due volte. I coefficienti della predetta combinazione lineare compongono una matrice quadrata di ordine n sul campo K:

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