» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Quantum Mechanics has destroyed the "objective" character of physical reality

The universe looks more and more like a vast thought, and less and less like a mechanism.
James Jeans (physicist and astronomer)

At the submicroscopic scale, Quantum Mechanics has destroyed the objective character of physical reality and the deterministic nature of the physical processes involved. More precisely, the «state» of a quantum system Sq is described by a «wave function» ψ or by a mathematical entity belonging to an abstract space that mathematicians call Hilbert space. The dynamic evolution of Sq starting from prefixed initial conditions (technically it is said that the system is «prepared» in a particular initial state), is governed by a partial differential equation (time-dependent Scrhödinger equation) which is a wave equation but not of the D'Alemebert type as it is of the first order in the time derivative (and therefore, has the same form as the heat conduction equation).

Through a powerful mathematical formalism, the Scrhödinger equation can be written as a first order linear ordinary differential equation, with an assigned initial condition. And it is thanks to the existence and uniqueness theorem that physical determinism is recovered: the state of Sq at all times is uniquely determined by the initial state. Note that it is still necessary to know the Hamiltonian (kinetic energy+potential) of Sq. We recall incidentally, that the knowledge of the only analytical expression of the wave function says nothing about the nature of Sq. And it is only the Hamiltonian that can make us aware of this (it is amusing to quote Richard Feynman's well-known aphorism «Know your Hamiltonian»).

However, alongside this deterministic evolution which Roger Penrose calls process U (where U stands for "unitary", since the aforementioned evolution is a unitary transformation of the Hilbert space associated with the system), a second non-deterministic evolution appears. To understand its nature, it is essential to remember that all the "mathematical paraphernalia" is defined in terms of values assumed by some "quantum observable" or by a physical quantity relative to the system under study (therefore, energy, momentum, momentum angular, etc.). The adjective "observable" is telling us that the aforementioned quantity is inevitably linked to the measurement process on the system. In fact, by "preparation" of Sq in a particular initial state, we mean that the system itself is in a so-called linear superposition of eigenstates of the observable to be measured. In a nutshell, it means that the values assumed by the observable following a possible measurement are not known. What we know are the probabilities. At this point, once the "start up" has been given to the system, the state evolves deterministically in the sense that it maintains the aforementioned linear superimposition. But if at any instant we measure the observable, the «wave function» (therefore the state of the system) collapses into one of the wave functions ("eigenfunctions") which defines a particular value assumed by the observable. For the foregoing, we do not know for certain which since we only know one probability. And it is clear then, that by repeating the experiment again a different value is expected. Hence the non-deterministic nature of the physical process under study. Incidentally, Penrose denotes this mode of evolution by R (which stands for wave function reduction).
Summarizing: a quantum system is characterized by two different dynamic evolutions:

Process U. It is the temporal evolution of the wave function starting from a given initial state. It is deterministic, as a solution of a differential equation that tests the hypotheses of the existence and uniqueness theorem.
Process R. It is the reduction of the wave function of the system, following the measurement operation. It is non-deterministic as there is no differential equation governing this process.

Traduzione in italiano:
L'universo somiglia sempre più a un vasto pensiero, e sempre meno a un meccanismo.
James Jeans (fisico e astronomo)

A scala submicroscopica la Meccanica quantistica ha distrutto il carattere oggettivo della realtà fisica e la natura deterministica dei processi fisici coinvolti. Più precisamente, lo «stato» di un sistema quantistico S_q, è descritto da una «funzione d'onda» ψ ovvero da un ente matematico appartenente a uno spazio astratto che i matematici chiamano spazio di Hilbert. L'evoluzione dinamica di S_q a partire da prefissate condizioni iniziali (tecnicamente si dice che il sistema è «preparato» in un particolare stato iniziale), è governata da un'equazione differenziale alle derivate parziali (equazione di Scrhödinger dipendente dal tempo) che è un'equazione d'onda ma non del tipo di D'Alemebert in quanto del primo ordine nella derivata temporale (e quindi, ha la stessa forma dell' equazione di conduzione del calore).

Attraverso un potente formalismo matematico, l'equazione di Scrhödinger può essere scritta come un'equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine, con un'assegnata condizione iniziale. Ed è grazie al teorema di esistenza ed unicità, che viene recuperato il determinismo fisico: lo stato a tutti i tempi di S_q è univocamente determinato dallo stato iniziale. Si badi che è comunque necessario conoscere l'hamiltoniana (energia cinetica+potenziale) di S_q. Ricordiamo incidentalmente, che la conoscenza della sola espressione analitica della funzione d'onda non dice nulla sulla natura di S_q. Ed è solo l'hamiltoniana che può renderci edotti in tal senso (è divertente citare il noto aforisma di Richard Feynman «Conosci la tua hamiltoniana»).

Tuttavia, accanto a questa evoluzione deterministica che Roger Penrose chiama processo U (ove U sta per "unitario", giacché la predetta evoluzione è una trasformazione unitaria dello spazio di Hilbert associato al sistema), compare una seconda evoluzione non-deterministica. Per capirne la natura, è essenziale ricordare che tutto l'«armamentario matematico» è definito in termini di valori assunti da una qualche «osservabile quantistica» ovvero da una grandezza fisica relativa al sistema in istudio (quindi, energia, quantità di moto, momento angolare, etc.). L'aggettivo "osservabile" ci sta dicendo che la predetta grandezza è inevitabilmente legata al processo di misura sul sistema. Infatti, per «preparazione» di S_q in un particolare stato iniziale, si intende che il sistema medesimo si trova in una cosiddetta sovrapposizione lineare di autostati dell'osservabile che si vuole misurare. In soldoni, significa che i valori assunti dall'osservabile in seguito a una possibile misura non sono noti. Ciò che conosciamo sono le probabilità. A questo punto, una volta dato lo "start up" al sistema, lo stato evolve deterministicamente nel senso che conserva la predetta sovrapposizione lineare. Ma se a un istante qualunque eseguiamo una misura dell'osservabile, la «funzione d'onda» (quindi lo stato del sistema) collassa in una delle funzioni d'onda ("autofunzioni") che definisce un particolare valore assunto dall'osservabile. Per quanto precede, non sappiamo con certezza quale poiché conosciamo solo una probabilità. Ed è chiaro allora, che ripetendo nuovamente l'esperimento ci si aspetta un valore diverso. Da qui la natura non-deterministica del processo fisico in istudio. Incidentalmente, Penrose denota con R (che sta per riduzione della funzione d'onda) tale modalità di evoluzione.
Riassumendo: un sistema quantistico è caratterizzato da due evoluzioni dinamiche diverse:

1. Processo U. È l'evoluzione temporale della funzione d'onda a partire da uno stato iniziale assegnato. È deterministico, in quanto soluzione di un'equazione differenziale che verifica le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità.
2. Processo R. È la riduzione della funzione d'onda del sistema, in seguito all'operazione di misura. È non-deterministico in quanto non esiste alcuna equazione differenziale che governi tale processo.

Secondo l'interpretazione di Copenaghen, è lo strumento di misura che determina il processo R. Tuttavia, come dimostrato da Von Neumann ciò può avvenire se e solo se l'equazione d'onda che governa l'evoluzione temporale della funzione d'onda, è nonlineare. Di contro, la linearità dell'equazione di Schrödinger distrugge tale possibilità, nel senso che la sovrapposizione iniziale si "trasferisce" allo strumento di misura il quale verrà a trovarsi a sua volta in una sovrapposizione lineare, e così via all'infinito, nell'ipotesi dell'aggiunta di successivi apparati di misura allo scopo di rimuovere la predetta sovrapposizione. Ne concludiamo che secondo Von Neumann è necessario e sufficiente la presenza di un quid astratto denominato coscienza dell'osservatore per rompere la catena infinita di apparati di misura.