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[¯|¯] L'equazione di conduzione del calore

Ottobre 10th, 2018 | by Marcello Colozzo |

Definizione
Il coefficiente di diffusione (o diffusività) di un corpo C di densità ρ e calore specifico σ, è:

essendo k la capacità termica di C.










La temperatura di C è una funzione u delle coordinate (x,y,z) del generico punto di C, e del tempo t. Cioè

dove t è il tempo. In parole povere, ci aspettiamo che la temperatura di C vari punto per punto nel dominio A occupato da C, e in funzione del tempo. La predetta funzione soddisfa la seguente equazione differenziale alle derivate parziali

nota come equazione di conduzione del calore. Nella ricerca delle soluzioni di tale equazione si ritiene K=costante>0, cioè si assume C omogeneo ed isotropo. Inoltre, si assegna una condizione iniziale del tipo

dove u₀(x,y,z) è una funzione nota. Altre condizioni sono le cosiddette condizioni al contorno:

dove u₁(x,y,z,t) è una funzione nota. In altri termini, le condizioni al contorno ci dicono come varia la temperatura sulla superficie di C (i.e. sulla frontiera di A). Un caso tipico è quello in cui C è in contatto con un termostato:

giacché in ogni punto P della frontiera di A la temperatura è indipendente dal tempo. Un'altra tipica condizione al contorno è quella in cui sulla superficie del corpo la temperatura è una funzione periodica del tempo di periodo T:

dove

In questo caso l'equazione di conduzione può essere risolta ricorrendo alla serie di Fourier che ben si presta nei problemi unidimensionali.

Tags: condizioni al contorno, equazione di conduzione del calore, equazioni differenziali alle derivate parziali

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