Il modello di universo inflazionario. Il problema dell'orizzonte

Dicembre 20th, 2021 | by Marcello Colozzo |

universo inflazionario,problema dell'orizzonte


Introduzione

La Teoria della Relatività Generale applicata all'Universo, fornisce un modello che ne ricostruisce la sua storia passata e futura per quanto riguarda gli effetti gravitazionali. Questi ultimi, sebbene di grande importanza, non possono essere tuttavia considerati sufficienti a darci un quadro esauriente delle principali fasi fisiche che hanno caratterizzato l'Universo attraverso la sua storia, ed è per questo che la teoria della relatività ha trovato un valido complemento nella fisica delle particelle. Dall'unione di questi indirizzi fondamentali di ricerca è stato possibile avere un quadro assai esauriente della vita cosmica e si è riusciti a rendere conto di una notevole serie di dati osservativi, i più importanti dei quali sono: l'espansione cosmologica secondo la legge di Hubble l'esistenza del
fondo cosmico a 3 K , l'abbondanza dell'elio e del deuterio che caratterizza la composizione chimica media dell'Universo. Tali risultati confermano a loro volta la teoria evolutiva cosmica, ma vi è una serie di dati di osservazione che non trovano nella teoria stessa una collocazione naturale ed esauriente sebbene non siano con essa in contrasto. Essi si possono riassumere in

  • Problema dell'orizzonte.
  • Problema della curvatura.

Il primo è fondamentalmente legato alla isotropia del fondo cosmico: regioni diverse della superficie di ultimo scattering causalmente scorrelate, hanno la stessa temperatura.

Il secondo si riferisce invece al fatto di avere una densità attuale estremamente vicina a quella critica tale da riprodurre il valore

Il problema dell'orizzonte

Consideriamo un osservatore O posto nell'origine del sistema di coordinate in co-moving. Si definisce "regione causalmente connessa" con O al tempo t, l'insieme dei punti dell'Universo che hanno potuto inviare un segnale luminoso all'osservatore. È ovvio che tali segnali sono stati inviati a tempi t' < t, quindi i corrispondenti eventi dello spazio-tempo appartengono al cono di luce del passato di O. Possiamo considerare l'esempio suggestivo di un ipotetico abitante di un universo piatto con una sola dimensione spaziale (asse x), per cui il corrispondente spazio-tempo sarà 2-dimensionale. Sia x=0, la posizione occupata da tale osservatore e A(t,x=0) l'evento corrispondente al tempo t. Tracciamo quindi il cono di luce del passato assoluto dell'osservatore, il quale individua l'insieme dei punti che hanno potuto inviare un segnale all'osservatore. In particolare, le intersezioni B e C del cono di luce con l'asse x rappresentano due eventi relativi all'emissione di due segnali luminosi al tempo t=0 e che si sono poi propagati in direzioni opposte fino a raggiungere il nostro osservatore al tempo t. Il segmento BC è la regione causalmente connessa con O al tempo t, e definisce così l'universo visibile per l'osservatore. L'estensione finita di tale regione è un'ovvia conseguenza della velocità finita di propagazione delle interazioni, in accordo con la relatività speciale. Viceversa, nel caso di un universo newtoniano, in cui tale velocità è infinita, l'osservatore può ricevere segnali da ogni punto dell'universo; in questo caso la regione causalmente connessa coincide con l'universo stesso. Cio premesso, nell'intervallo (t',t'+dt') il generico segnale percorre la distanza


Tale distanza è data da:

essendo a(t) il parametro di espansione della metrica di Robertson-Walker. Per ragioni di simmetria la propagazione del segnale è radiale, cioè θ e φ sono costanti, quindi dalla precedente:


D'altro canto, tale grandezza valutata al tempo t è


Ne segue

Qui dl(t) è la cosiddetta distanza propria (al tempo t) percorsa dal segnale luminoso nell'intervallo dt'. In altri termini, nell'intervallo di tempo (t',t'+dt') il segnale luminoso percorre la distanza cdt', e questa distanza valutata al tempo t > t' è dilatata di un fattore a(t')/a(t), a causa dell'espansione dell'universo. Integriamo dal big bang a t:

Poiché è a(0)=0, l'integrando ha una singolarità nell'estremo inferiore di integrazione. Quindi abbiamo un integrale improprio e risulta:

Se l'integrale diverge, l'osservatore può ricevere un segnale al generico istante t da un qualunque punto dell'universo. In questo caso la regione causalmente connessa con l'osservatore è l'universo stesso. Se invece l'integrale converge, la regione causalmente connessa è la sfera di raggio Lh(t), la cui superficie si chiama orizzonte di particella o causale converge se, e solo se la funzione integranda f(t)=c/a(t) è, per t->0, un infinito di ordine < 1, cioè se per t->0 si comporta come 1/t^n con 0 < n < 1. Nei modelli di Friedmann è a(t)->t^ß, per t->0. Ciò perché per t->0 ogni modello si comporta come un modello piatto e in quest'ultimo a(t) segue appunto una legge di potenza. Quindi la derivata prima e seconda sono rispettivamente: [da(t)/dt]->ß(ß-1), [d^2a/dt^2]->ß(ß-1)t^{ß-2}. Se prendiamo la prima delle equazioni di Friedmann


Vediamo che nel limite per t?0 si comporta come

Cioè se ci riferiamo esclusivamente a fluidi con equazione di stato p=wρc² (w=0), l'integrale converge. Quindi i modelli di Friedmann con le suddette proprietà, hanno l'orizzonte di particella. La sua esistenza pone serie difficoltà nell'accettazione del principio cosmologico (isotropia ed omogeneità), il quale richiede la presenza di una forte correlazione nelle condizioni fisiche di regioni "causalmente sconnesse", cioè che si trovano al di fuori dei rispettivi orizzonti. Ciò si verifica in particolare nel caso della isotropia della temperatura della CBR: punti di cielo causalmente scorrelati hanno la stessa temperatura di fondo cosmico, come in fif.

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