Deviazione dalla legge di Hubble

Marzo 28th, 2021 | by Marcello Colozzo |

legge di Hubble, deviazione,anisotropie


Qualche richiamo di astronomia

Il parsec è la distanza da cui il semiasse maggiore dell'orbita terrestre è visto sotto un angolo di un secondo d'arco. Riesce:


In cosmologia le distanze di interesse fisico sono dell'ordine dei megaparsec (Mpc).

La legge di Hubble

La legge di Hubble è espressa dalla seguente equazione:

dove v è la velocità di recessione di una galassia che dista d dall'osservatore O, mentre H0 è la "costante" di Hubble. Si notino le virgolette, in quanto tale grandezza varia in funzione del tempo. Incidentalmente, il pedice 0 si riferisce all'epoca cosmologica attuale (t0). Nella predetta legge la velocità è espressa in km/s mentre la distanza è in Mpc. Dai dati osservativi:


Spesso è preferibile lavorare su una costante di Hubble normalizzata:

Quale è l'ordine di grandezza di d? Per rispondere a questa domanda dobbiamo innanzitutto osservare che una galassia si muove rispetto all'ammasso di appartenenza, con una data velocità vp detta velocità peculiare. Ne segue che la distanza d deve essere tale che


D'altra parte, d non deve superare un certo valore massimo altrimenti

I dati osservativi ci dicono che vp~10³km /s per cui


Per il limite superiore, si trova

Cioè


In termini di red shift

Anisotropie

La legge di Hubble è manifestamente isotropa, valida cioè in un universo in espansione isotropa. Volendo tener conto di una eventuale anisotropia dell'espansione, facciamo riferimento alla fig.


in cui è istituito un sistema di riferimento con origine nella nostra galassia. In tale sistema viene osservata una galassia lontana, posizionata dal vettore d.

Per introdurre eventuali anisotropie nella legge di Hubble, siamo tentati a scrivere

Tuttavia, da un punto di vista osservativo, riesce efficace introdurre un tensore tridimensionale Hik che chiamiamo tensore di Hubble. Quindi le singole componenti cartesiane del vettore velocità di recessione della galassia assegnata, si scrivono nella usuale convenzione di somma di Einstein:


Il tensore di Hubble si scrive come somma di tre contributi:

dove: H è la costante di Hubble, δik è la delta di Kronecker, θik e σik sono rispettivamente un tensore antisimmetrico e un tensore simmetrico con elementi diagonali nulli:


Il tensore antisimmetrico rappresenta una rotazione, mentre il tensore simmetrico il cosiddetto moto di shear. Ne segue che il tensore

rappresenta l'isotropia della legge di Hubble, mentre i rimanenti contributi sono le deviazioni da tale isotropia. Il nostro compito è valutare l'ordine di grandezza di queste ultime. A tale scopo, posizioniamo la galassia che stiamo osservando nel sistema di riferimento visto prima, che ora ripresentiamo in fig.


dove abbiamo tracciato il versore n del vettore posizione:


dove ni sono appunto i coseni direttori della congiungente osservatore-galassia osservata. Tale congiungente è denominata linea di vista. Per quanto precede, le componenti cartesiane del vettore velocità di recessione sono

Si noti che qui ci si riferisce indifferentemente agli indici in basso o in alto, giacchè siamo nell'Euclideo. Tuttavia, tali componenti mal si prestano alle osservazioni cosmologiche. La grandezza interessante è la componente del vettore velocità di recessione secondo la linea di vista. Cioè


Segue


Valutiamo il numeratore:


I singoli termini a secondo membro sono:


Quindi


Finalmente

Questo risultato interessante ha una semplice interpretazione fisica: sotto ragionevoli ipotesi le anisotropie dovute alle rotazioni si cancellano, e sopravvivono solo quelle del moto di shear. Si tratta dunque di stabilire l'ordine di grandezza di tale termine. Osservando un campione statisticamente significativo di red shift di ammassi lontani, si può comunque trovare un sistema di coordinate Oxyz in cui il tensore σik è diagonale:


In tale sistema di riferimento, si è trovato

Conclusione: il flusso di Hubble ha un grado di anisotropia minore del 10%.

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