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La sinfonia aleatoria dei numeri primi

Maggio 30th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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L'eventuale carattere aleatorio della legge di distribuzione dei primi è un'affascinante ipotesi di lavoro, che al contempo getta una luce ancora più sinistra sull'ipotesi di Riemann (in tal modo sarebbe altrettanto aleatorio il processo di distribuzione della parte immaginaria degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, "inchiodando" la parte reale a 1/2, i.e. assumendo per vera la predetta ipotesi).

A tale scopo denotiamo con n(x) il numero di numeri primi minori o uguali di x. Per tale funzione reale della variabile reale x, sussiste il teorema dei numeri primi

In fig. 1 il grafico di n(x) confrontato con quello di u(x). La ricerca della legge di distribuzione n(x) è un problema aperto. Tra l'altro, tale grandezza potrebbe essere una variabile aleatoria. In tal caso, il processo:

non è deterministico. Più precisamente, la conoscenza di n(x₀) per un assegnato x₀ > 2 determina univocamente la probabilità

Assumendo che il processo sia stazionario, si ha che tale probabilità non dipende da x, per cui la condizione di normalizzazione si scrive:

Ne seguono le tipiche grandezze statistiche (valor medio e varianza):

E quindi lo spettro di potenza della distribuzione dei primi:

la funzione di autocorrelazione:

Per il

Tags: distribuzione, numeri primi, processo aleatorio

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