Passaggi poco chiari sul Caldirola (equazione di Klein-Gordon) |

Passaggi poco chiari sul Caldirola (equazione di Klein-Gordon)

Aprile 29th, 2021 | by Marcello Colozzo |

equazione di Klein-Gordon,densità di probabilità, normalizzaione

A questo punto assumiamo che nell'istante iniziale t=0 ci sia una sola particella di carica +q in tutto lo spazio fisico. Matematicamente, ciò equivale a risolvere il seguente problema di Cauchy:

che è manifestamente compatibile e determinato (non occorre una condizione sulle derivate parziali rispetto alle variabili spaziali perché le equazioni differenziali sono del primo ordine rispetto alla derivata temporale). Poniamo

che definisce la densità di probabilità di trovare la particella di carica +q in x, per cui deve essere soddisfatta la condizione di normalizzazione:

Alla stessa maniera

Le singole equazioni esprimono una trasformazione unitaria nei rispettivi spazi di Hilbert L²(R³) di singola carica (lo spazio di Hilbert del sistema è il prodotto tensoriale dei predetti spazi). Come è noto, ciò esprime matematicamente la conservazione della probabilità. Quindi