L'equazione di Klein-Gordon quale equazione di campo

Aprile 28th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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In questo numero ricapitoliamo a grandi linee i risultati raggiunti, anticipando alcuni concetti relativi a una reinterpretazione delle soluzioni dell'equazione di Klein-Gordon (K-G). Per quanto visto in precedenza, è necessario ridefinire il modulo quadro delle soluzioni come densità di carica elettrica, giacché il predetto modulo quadro non è definito positivo. Storicamente, furono i fisici teorici Pauli e Weissskopf (1934) ad aggirare l'ostacolo del segno della densità ρ (formulazione ripresentata poi da Feschbach e Villars). Tuttavia, secondo alcuni storici della fisica sembra che l'ipotesi di una teoria di campo per ciò che riguarda le soluzioni della K-G sia stata formulata dal fisico teorico Ettore Majorana, come si evince da questo video al minuto 27.
Dunque, abbiamo visto che l'equazione di K-G


equivale al sistema di equazioni differenziali

dove


Ottenendo poi la forma operatoriale

in cui la rappresentazione dell'operatore a primo membro nella rappresentazione delle coordinate si scrive:


rammentando che

Ciò premesso, per un'interpretazione fisica delle funzioni che compongono Ψ, riprendiamo la densità di carica elettrica e la corrispondente densità di corrente:


Ne segue

Il risultato evidente


ci consente di esprimere la densità di carica come

essendo

la funzione hermitiana coniugata di Ψ. La carica elettrica in un volume dello spazio fisico rappresentato da un dominio regolare D, è

Densità e corrente sono legate dall'equazione di continuità

che esprime la conservazione della carica elettrica. Tenendo conto dell'equazione precedente e applicando il teorema della divergenza

dove la grandezza a secondo membro è il flusso del vettore j attraverso la superficie chiusa che delimita il volume considerato. Integrando su tutto lo spazio fisico si ha manifestamente

Nell'interpretazione di Pauli e Weissskopf, la K-G è un'equazione di campo in cui ρ è la differenza tra le densità di carica elettrica tra due tipi di particelle con cariche opposte. Ciò è suggerito dalla decomposizione dell'integrale che esprime la carica elettrica su tutto lo spazio fisico:


che può essere scritta come


essendo


La somma Q+(t)+Q-(t) è costante ma i singoli termini possono variare in funzione del tempo attraverso processi di creazione/distruzione di coppie di particelle di carica opposta.

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