Perché la Luna non cade sulla Terra?

Aprile 10th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Una affermazione che si presenta spesso in Meccanica Celeste è: La Luna è in caduta libera verso la Terra, oppure: La Terra è in caduta libera verso il Sole. Un profano potrebbe, invece, porsi l'ovvia domanda: perchè la Luna non cade «effettivamente» sulla Terra? D'altra parte, se osserviamo la caduta libera di una pigna da un albero, vediamo che in entrambi i casi il campo di forze è il medesimo. Per essere più precisi, la pigna P è attratta dal campo gravitazionale terrestre, per cui si muove con accelerazione g=9.8m/s². Nessuno ha mai visto una pigna entrare in orbita! Una spiegazione intuitivamente ovvia è: rispetto alla superficie terrestre, la Luna si trova a una distanza molto più grande se confrontata alla distanza che separa la pigna dalla predetta superficie. Siccome l'attrazione gravitazionale diminuisce con il quadrato della distanza, ci si aspetta una forza di attrazione della Terra esercitata sulla Luna, decisamente più bassa di quella applicata alla pigna. In parole povere, l'accelerazione della «caduta libera» della Luna sulla Terra, è molto più bassa di g=9.8m/s². Tuttavia, ciò non spiega l'apparente contraddizione tra il moto radiale della pigna e il moto orbitale della Luna. Ma procediamo con ordine.

In una maniera rozza ma efficace, approssimiamo il sistema Terra+Luna attraverso un sistema isolato (quindi esente dai campi gravitazionali degli altri corpi celesti). Una successiva approssimazione consiste nell'assumere la massa della Terra «infinitamente grande» rispetto a quella della Luna. Tale assunto ci svincola dal sistema «a due corpi», e ci consente di considerare un solo «corpo» (cioè, la Luna) che si muove nel campo di forze centrali generato dalla Terra (campo gravitazionale). Per quanto visto nella lezione precedente, il moto orbitale della Luna equivale a un moto unidimensionale sotto l'azione di un potenziale efficace:

dove m_L è la massa della Luna. Ricordiamo che

Ma la componente z del momento angolare della Luna (cioè L_z) è una costante del moto, per cui

essendo L_z,0 la predetta componente valutata in un «istante iniziale». Siccome L_z=m_Lr²v_φ, ove v_φ=rφ (φ "punto", cioè derivata rispetto al tempo) è la velocità trasversale della Luna, deve essere

Al solito, l'apice si riferisce a una valutazione delle singole grandezze nell'istante iniziale. In altri termini, una velocità trasversale iniziale non nulla, si traduce in un momento angolare non nullo. Diversamente, si ha

Il potenziale newtoniano segue la legge V(r)=-k/r con k > 0, per cui abbiamo un moto unidimensionale in una «buca di potenziale infinitamente profonda». Con una condizione iniziale sulla coordinata radiale

si ha inevitabilmente una «caduta effettiva» (per essere più rigorosi, si dovrebbe discutere attraverso la conservazione dell'energia meccanica E, per cui quanto appena detto si verifica solo per E < 0).

Si tratta ora di eseguire una stima dell'ordine di grandezza delle variabili che ci interessa (accelerazione della caduta libera e velocità trasversale). Per il calcolo dell'accelerazione, facciamo un'ulteriore ipotesi molto rozza (essere più precisi porterebbe a risultati con lo stesso ordine di grandezza): il moto della Luna intorno alla Terra è circolare uniforme. I dati astronomici ci dicono che il periodo di tale moto (mese sinodico) è T_L=27.3 d = 2358720 s. Ne segue una velocità angolare di modulo ω_L=2*π/T_L=2.67*10^-6 rad/s. L'accelerazione di «caduta libera» della Luna altro non è che l'accelerazione centripeta:

essendo r_L=380000km il raggio dell'orbita. Numericamente:

Quindi il rapporto tra l'accelerazione della Luna e l'accelerazione della pigna, entrambe in caduta libera, è

E questo risultato conferma ciò avevamo detto prima. Ma adesso andiamo a valutare la velocità trasversale che nell'approssimazione di moto circolare uniforme è semplicemente

Quindi un valore decisamente alto! Ne concludiamo che la Luna per poter cadere «effettivamente» sulla Terra, dovrebbe annullare (o ridurre di molto) il proprio momento angolare. Ma ciò non è possibile per un principio primo della fisica (principio di conservazione del momento angolare).

Indice delle lezioni

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