Moto in un campo centrale. Energia potenziale efficace. Potenziale centrifugo

Marzo 17th, 2021 | by Marcello Colozzo |

In una lezione precedente abbiamo visto che un campo centrale è dato da

dove la funzione F:(0,+oo)->R è sufficientemente regolare. Per una proposizione dimostrata nella predetta lezione, un qualunque campo centrale è conservativo, e ha energia potenziale:

Il momento di F(r) rispetto all'origine delle coordinate è manifestamente nullo, per cui si conserva il momento della quantità di moto (o momento angolare) di un punto materiale che si muove in un campo centrale:

Se r₀=r(t₀),v₀=v(t₀) sono posizione e velocità iniziale del predetto punto, si ha che il valore della costante è il momento della quantità di moto iniziale:

ed è disposto come in fig. 1. Ne segue che il moto avviene nel piano α₀ determinato dai vettori posizione e velocità iniziale, quindi è il piano passante per O e perpendicolare ad L₀. Nel caso particolare in cui la velocità iniziale è parallela (o antiparallela) al vettore posizione iniziale, il momento della quantità di moto è nullo a tutti i tempi, per cui il moto è rettilineo. Orientando la terna di assi Oxyz con il piano coordinato xy coincidente con il piano del moto, si ha:

cosicché

Passiamo alle coordinate polari:

per cui

Quindi

Rammentando l'espressione analitica della velocità areolare, si ha:

Ne segue che un qualunque moto centrale conserva la velocità aereolare (Legge di Keplero). È preferibile passare dai versori i e j degli assi coordinati x,y ai versori e_r,e_φ noti come rispettivamente come versore radiale e versore trasversale

Quindi nella nuova base ortonormale, il vettore posizione del punto materiale si scrive:

Il secondo principio della dinamica restituisce l'equazione differenziale vettoriale

Tenendo conto della precedente

Per poter scrivere tale equazione vettoriale per componenti nella base dei versori radiale e trasversale, dobbiamo esplicitare il primo membro, i.e. l'accelerazione vettoriale come combinazione lineare dei predetti versori. Abbiamo già fatto tale calcolo in una precedente lezione, per cui riportiamo la formula finale: