Comportamento di una funzione (di una variabile) agli estremi del campo di esistenza

Gennaio 16th, 2021 | by Marcello Colozzo |
campo di esistenza,funzione,limiti
Fig. 1


Esercizio

Studiare il comportamento della funzione


agli estremi del suo campo di esistenza.

Soluzione
La funzione assegnata è definita in X=R-{0} ed è ivi positiva. Risulta

Ne consegue che x=0 è un punto di discontinuità di seconda specie. Comportamento per x che tende a "+ infinito":

Strategia di attacco:

Ma

per cui

Cioè la funzione è convergente per x->+oo e il limite vale 7, i.e. la retta y=7 è asintoto orizzontale a destra per il grafico della funzione. Passiamo al comportamento per x->-oo:

Strategia di attacco:

Ma

Ne segue

Cioè la funzione è convergente per x->-oo e il limite vale 5, i.e. la retta y=5 è asintoto orizzontale a sinistra per il grafico della funzione. In fig. 1 riportiamo il grafico della funzione assegnata.


Exercise

Study the behavior of the function


at the extremes of its field of existence.


Solution
The assigned function is defined in X = R- {0} and is positive there. Turns out


It follows that x = 0 is a point of discontinuity of the second kind. Behavior for x tending to "+ infinity":

Attack strategy:

But

for which

That is, the function is convergent for x -> + oo and the limit is 7, i.e. the line y = 7 is a horizontal asymptote to the right for the graph of the function. Let's move on to the behavior for x -> - oo:

Attack strategy:

But

It follows

That is, the function is convergent for x->-oo and the limit is 5, i.e. the line y = 5 is a horizontal left asymptote for the graph of the function. In fig. 1 we report the graph of the assigned function.

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