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Comportamento di una funzione agli estremi del campo di esistenza

Esercizio
Studiare il comportamento della funzione scritta in fig. 1, agli estremi del suo campo di esistenza:

Soluzione
La funzione è definita in X=R-{0}, per cui calcoliamo i seguenti limiti:

cosicché la funzione è divergente positivamente a destra di x=0, e infintesima a sinistra. Ne segue che in tale punto la funzione ha una discontinuità di seconda specie. Studiamo il comportamento all'infinito:

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Il limite quale punto di aderenza per il codominio di una funzione

Proposizione
Se la funzione f:X->R è convergente in x0, il limite l è un punto di aderenza per il codominio f(X).

Dim.

L'asserto segue dalla definizione di limite:

illustrata in fig. 1.

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