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Il "limite del topologo" in due dimensioni

Gennaio 8th, 2021 | by Marcello Colozzo |

limite del topologo, punti di discontinuità,limit of the topologist
Fig. 1


Esercizio

Classificare i punti di discontinuità della funzione scritta in fig. 1.


Soluzione
La funzione è definita in


cioè su tutto il piano cartesiano, escludendo gli assi coordinati. Comunque prendiamo y0 non nullo, risulta

e viceversa, preso ad arbitrio x0, risulta

Ovviamente


Tali risultati costituiscono un'estensione ad R² del famoso limite del topologo
Conclusione: gli assi coordinati sono luoghi di discontinuità di seconda specie per la funzione assegnata.


Exercise

Classify the points of discontinuity of the function written in fig. 1.

Solution
The function is defined in


that is, on the whole Cartesian plane, excluding the coordinate axes. However we take y0 not zero, it turns out

and vice versa, taken at will x0 not zero, it turns out

Obviously


These results constitute an extension to R² of the famous limit of the topologist
Conclusion : the coordinate axes are places of discontinuity of the second kind for the assigned function.

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