Covid-19: ai margini del caos (deterministico)

Maggio 8th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Il prof. ing. Angelo La Marca, ha suggerito il seguente problema di Cauchy per descrivere la pandemia da Covid-19 attraverso un processo di Wiener.

dove K è il valore di Plateau e

Abbiamo provato a risolvere numericamente il predetto problema utilizzando l'ambiente di calcolo Mathematica. Ma come ci si aspettava, non c'è traccia di noise nella soluzione. La ragione è molto semplice: un'equazione differenziale per quanto possa essere complicata, restituisce comunque un processo deterministico. Diversamente, un'equazione differenziale stocastica ammette soluzioni aleatorie, esattamente come avviene per il moto browniano. Per inciso, il cosiddetto caos deterministico caratterizza l'evoluzione dinamica di un sistema del tipo mappa logistica, solo per valori del parametro r sufficientemente alti (3-4). Tali valori sono fisiologici per la crescita di una popolazione di insetti, giusto per fare un esempio. Ma sono manifestamente patologici per una pandemia.
Riguardo al comportamento aleatorio (da non confondere con il caos che per quanto possa essere imprevedibile, è un processo deterministico), avevamo già trattato questo problema utilizzando, appunto, un approccio aleatorio. A tale scopo, è preferibile separare nel secondo membro dell'equazione differenziale, il termine che contribuisce alla crescita esponenziale da quello che modellizza l'azione di contenimento (lockdown, farmaci, etc.). Per una questione di comodità matematica poniamo K=1 e facciamo riferimento a una grandezza y(t) che ovviamente acquisisce un valore iniziale < 1 (in tal modo implementiamo un sistema dinamico universale e non necessariamente un modello di pandemia). Quindi, con ovvio significato dei simboli:

In uno scenario più realistico:

ove s > 0 è il coefficiente che regola l'azione di contenimento. È chiaro per s=0 si ha una crescita esponenziale. Nell'articolo citato, avevamo assunto s un processo di Wiener, e infatti i dati aggiornati sembrano confermare questa ipotesi. Il problema che si apre consiste ovviamente nel dare un'espressione (aleatoria) a tale grandezza (al pari dei processi deterministici, anche quelli aleatori sono infiniti).

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