[¯|¯] Intrecci patologici

Febbraio 20th, 2020 | by Marcello Colozzo |

punti multipli,curva piana,rappresentazione parametrica — **Fig. 1**

In un numero precedente abbiamo stabilito (con ovvio significato dei simboli)

In altri termini, l'assenza di punti critici della funzione vettoriale x(t), i.e. l'assenza di zeri della derivata x'(t), è condizione sufficiente ma non necessaria affinchè x(t) sia localmente iniettiva. Ad esempio, se t₀ è un punto critico e se una delle funzioni componenti ha ivi un punto di flesso a tangente orizzontale, ne consegue che x(t) è manifestamente iniettiva.

Ciò premesso, risolviamo un esercizio del libro Geometria differenziale (collana Schaum). È data una curva piana di rappresentazione parametrica

con

La funzione componente x(t) ovviamente non dà problemi, quindi studiamo il comportamento di y(t). Risulta manifestamente:

da cui la continuità di tale funzione in t=0, e quindi su tutto R. La derivata prima è

Per t=0 conviene calcolare direttamente il limite del rapporto incrementale:

cosicchè la derivata y'(t) è continua su tutto R. In particolare:

Cioè t=0 è un punto critico per la rappresentazione parametrica assegnata. Determiniamo gli eventuali punti multipli della curva. Osserviamo preliminarmente che se t_n sono gli zeri della funzione y(t), cioè

come illustrato in fig. 1 (grafico in miniatura).

Cioè t_n e -t_n individuano lo stesso punto della curva. Ne consegue che tale curva è dotata di infiniti punti doppi, giacché ciascuno è individuato da n. Dimostriamo ora che in ogni intorno di t=0 cade almeno un punto doppio. Infatti: