[¯|¯] Condizione di non degenerazione di un sistema di coordinate curvilinee

Febbraio 2nd, 2020 | by Marcello Colozzo |

coordinate curvilinee,linee coordinate, coordinate curvilinee ortogonali — **Fig. 1**

Assegnata una rappresentazione parametrica di una superficie S

Esprimiamo le derivate parziali della funzione vettoriale r(u,v) nel punto (u₀,v₀):

La rappresentazione parametrica della linea coordinata Γ_u₀ è:

Come è noto, l'equazione della retta tangente a una curva in rappresentazione parametrica assume la forma (nel nostro caso specifico):

Equivalentemente, una terna di numeri direttori della predetta tangente è:

Dalla geometria analitica sappiamo che i numeri direttori sono le componenti cartesiane di un vettore parallelo alla retta data. Nel caso in esame, le predette grandezze sono le componenti di un vettore tangente a Γ_u₀ in P₀. Perciò:

Allo stesso modo:

come illustrato in fig. 1. Inoltre

Ricordiamo che L,M,N sono i minori del secondo ordine della matrice jacobiana relativa alla rappresentazione parametrica di S, presi con segno alterno cancellando la prima, seconda e terza colonna. Dal momento che la predetta rappresentazione è regolare, L,M,N non sono mai tutti e tre nulli, onde

Geometricamente si ha che i vettori tangenti r_u e r_v non sono mai paralleli (in ogni punto di S).Tale condizione è vitale affinché sia possibile determinare la posizione dei punti di S nelle coordinate curvilinee (u,v). Nel caso contrario, cioè se esistono punti di S tali che il prodotto vettoriale dei predetti vettori è nullo, significa che la rappresentazione parametrica adottata non è regolare (giacché il rango della matrice jacobiana è 2 in un sottoinsieme non vuoto del dominio base D). In tale circostanza, il sistema di coordinate curvilinee (u,v) si dice degenere. Al contrario, se il prodotto scalare è identicamente nullo, il sistema di coordinate si dice ortogonale

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)