[¯|¯] Coordinate curvilinee. Linee coordinate

Febbraio 2nd, 2020 | by Marcello Colozzo |

Consideriamo la superficie regolare:

i.e. la funzione vettoriale

di classe C¹ su D. I parametri u,v istituiscono un sistema di coordinate curvilinee su S. Per mostrare ciò, fissiamo la nostra attenzione sul piano coordinato (u,v) ove possiamo definire le linee coordinate:

per un'assegnata coppia di parametri (u₀,v₀) come illustrato in fig. 1.

I predetti luoghi geometrici sono segmenti di retta e sono banalmente regolari. Per la proposizione dimostrata nel numero precedente, la regolarità si conserva nel processo di immagine attraverso l'applicazione r(u,v). In altri termini, le immagini Γ_u₀,Γ_v₀ di C;_u₀,C;_v₀ sono archi di curva regolari. Abbiamo

Allo stesso modo

Definizione

(u₀,v₀) diconsicoordinate curvilinee del punto P₀ di S.

Ne consegue che parametrizzare una superficie S equivale a ricoprire S con due famiglie di curve regolari, che si dicono linee coordinate su S.

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