[¯|¯] Non tensorialità dei Gamma Symbols
Luglio 15th, 2019 | by Marcello Colozzo |Abbiamo definito i Gamma Symbols attraverso degli "oggetti" a tre indici, per cui ci poniamo l'ovvia domanda: sono enti tensoriali? Per rispondere riprendiamo l'espressione che definisce la derivata covariante di un vettore Aµ:
In seguito a una generica trasformazione di coordinate si ha:
Si potrebbero scrivere le corrispondenti formule di trasformazione per poi sostituirle per così tirare fuori l'equazione di trasformazione delle Gamma. Ma proviamo il seguente procedimento:
Precisamente, la derivata ordinaria trasforma come:
Segue allora che affinchè la differenza
ia un tensore, i Gamma Symbols dovranno trasformarsi come:
Per esplicitare il secondo termine a secondo membro, prendiamo l'ovvia relazione
Sviluppando la derivata:
Cioè
che sostituita nell'equazione scritta più sopra:
Da tale relazione vediamo che i Gamma Symbols non sono tensori, a causa del termine contenente la derivata seconda, e quest'ultimo si annulla solo per trasformazioni lineari.
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Tags: connessioni affini, gamma symbols, tensore
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