[¯|¯] Principio di general-covarianza

Luglio 2nd, 2019 | by Marcello Colozzo |

Riassumiamo quantitativamente i risultati della lezione precedente. Sia data una particella di massa m che si muove nel campo gravitazionale di una sorgente di massa M. La Lagrangiana della particella si scrive:

dove la disuguaglianza esprime il limite non-relativistico. Nel caso contrario i.e. se la sorgente è estremamente massiva, il predetto limite viene violato e la particella compie un moto relativistico. In tale circostanza siamo tentati di scrivere la ben nota lagrangiana relativistica:

Ma per quanto visto nella sezione precedente, tale lagrangiana conduce a risultati che contraddicono i dati sperimentali. Per poter trattare l'interazione gravitazionale nel regime relativistico, è necessario formulare una teoria di campo che non derivi da un potenziale scalare o vettoriale. L'estensione naturale prevede, dunque, un campo tensoriale quale è appunto quello previsto dalla Relatività Generale. Da un punto di vista fisico, ciò si realizza generalizzando il principio di Relatività Ristretta secondo cui le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. In Relatività Generale si assume che le predette leggi siano le stesse in tutti i sistemi di riferimento (inerziali e non-inerziali). Matematicamente tutto questo si esprime attraverso il seguente principio:
Principio di general-covarianza
Le leggi della fisica sono covarianti rispetto a una qualunque trasformazione che ci fa passare da un sistema di riferimento a un altro.

Qui per covarianza si intende invarianza in forma, cioè le equazioni che rappresentano un'assegnata legge fisica, conservano la propria forma rispetto a una qualunque trasformazione di coordinate.
Il principio di general-covarianza ha notevoli implicazioni sulla geometria dello spaziotempo. Come è noto, nello spaziotempo della Relatività Ristretta la metrica è pseudoeuclidea (metrica di Minkowski):

per cui il quadrato dell'intervallo spaziotemporale tra una qualunque coppia di eventi infinitamente vicini, si scrive:

avendo adottato per il corrispondente 3-spazio, le usuali coordinate cartesiane x,y,z. Di contro, in Relatività Generale il principio di general-covarianza impone:

dove la metrica del "nuovo" spaziotempo dipende funzionalmente dal generico evento (x^α).

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