[¯|¯] Masse variabili di cui una è su un piano inclinato.
Novembre 17th, 2018 | by Marcello Colozzo |Esercizio
Si studi il sistema meccanico dell'esercizio precedente, assumendo variabile il rapporto tra le due masse m/M nell'intervallo [0,+oo).
Soluzione
L'accelerazione del sistema è
dove α=π/4,µ=0.5, mentre le masse m ed M sono assunte variabili. Precisamente, definiamo la variabile reale adimensionale e non negativa:
Adimensionalizziamo il problema defininendo la seguente funzione reale della variabile reale ξ:
In altri termini, la predetta funzione altro non è che l'accelerazione del sistema in unità g. Risulta
Insieme di definizione
La funzione è definita in R-{-1}, ma a noi interessa la sua restrizione a X=[0,+oo).
Intersezione con gli assi coordinati
Asse ξ:
Il grafico di f(ξ) interseca l'asse delle ascisse nel punto (ξ0,0). Interpretazione fisica:
Cioè se m=[sqrt(2)/4)]*M il sistema è in equilibrio (a=0). Per essere più precisi, se inizialmente la velocità è nulla, il sistema peresevera nello stato di quiete (equilibrio statico).
Asse η:
Quindi il grafico di f(ξ) interseca l'asse delle ordinate nel punto (0,η0). Interpretazione fisica:
Cioè se non c'è nessuna massa m collegata alla carrucola, la massa M scivola sul piano inclinato con accelerazione in modulo pari sqrt(2)/4 volte l'accelerazione di gravità.
Segno della funzione
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Interpretazione fisica:
Osservazione
L'inversione del moto (cioè M sale ed m scende) non avviene per m > M,ma per un valore più basso.
Comportamento all'infinito. Ricerca di asintoti
Cioè la retta η=-1 è asintoto orizzontale a destra. Interpretazione fisica:
Significa uno dei seguenti casi:
I casi più significativi sono 1 e 2. Da un punto di vista fisico entrambi implicano m » M. Inoltre:
Cioè se la massa M è trascurabilmente piccola rispetto alla massa m, quest'ultima è in caduta libera (e la tensione del filo è nulla).
Monotonia della funzione
La derivata prima è
onde la funzione è strettamente decrescente.
Concavità - Punti di flesso
La derivata seconda è
onde il grafico della funzione è concavo. Pertanto è privo di punti di flesso.
Tracciamento del grafico
Ora abbiamo tutti gli ingredienti per tracciare il grafico:
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Tags: attrito dinamico, carrucola, filo inestensibile, piano inclinato
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