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[¯|¯] Corda vibrante di lunghezza finita (metodo di Fourier)

Ottobre 20th, 2018 | by Marcello Colozzo |

Passiamo ora allo studio delle vibrazioni di una corda vibrante di lunghezza finita. Per ipotesi la corda è inizialmente tesa sul segmento rappresentato dall'intervallo [0,l]. È chiaro che l'equazione è la stessa della corda infinitamente estesa:

con l'ovvia differenza che la funzione u(x,t) è definita per 0<=x<=l. Le condizioni iniziali a cui deve obbedire l'integrale generale dell'equazione differenziale alle derivate parziali appena scritta sono quelle tipiche:

Tuttavia, a causa della lunghezza finita della corda, le condizioni precedenti non sono sufficienti per determinare univocamente la soluzione. Abbiamo, cioè, bisogno delle cosiddette condizioni al contorno che nel caso in esame, individuano lo spostamento in funzione del tempo degli estremi della corda x=0,x=l. Cioè

con α(t) e ß(t) funzioni continue assegnate. Ricapitolando:

• Condizioni iniziali (o di Cauchy)
  Spostamento iniziale (punto per punto); velocità iniziale (punto per punto).
• Condizioni al contorno
  Spostamento degli estremi in funzione del tempo.

Ciò premesso, ci proponiamo di risolvere il seguente problema:

Problema
Determinare una soluzione dell'equazione della corda vibrante, continua nel dominio

che verifichi le predette condizioni iniziali e condizioni al contorno.

Sussiste il seguente teorema:
Teorema
Se le funzioni α(t), ß(t) sono di classe C² e verificano le condizioni:

esiste ed è unica la soluzione u(x,t) del problema assegnato, continua in D assieme alla derivata u_t, e dotata in

di derivate continue u_x,u_xx,u_tt.

Dimostrazione

Per un assegnato t₁ > 0, nell'intervallo [0,l] possiamo sviluppare la funzione u(x,t) in serie di Fourier di soli seni:

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con coefficienti di Fourier

A tutti i tempi

Prima di procedere assumiamo u_xx e u_xx continue su tutto D (cioè includiamo anche la frontiera di D, rilassando quindi le ipotesi del teorema).

Dall'equazione della corda vibrante, segue

Cioè

avendo definito

Il primo integrale può essere risolto con una doppia integrazione per parti. Precisamente:

Ma

onde

Passiamo all'altro integrale

onde

Quindi otteniamo l'equazione

in cui riconosciamo l'equazione differenziale per un oscillatore armonico di pulsazione Ω_k, sottoposto a un forza variabile in funzione del tempo secondo la legge:

È facile persuadersi che l'integrale generale della predetta equazione differenziale ordinaria è:

I valori delle costanti di integrazione A_k,B_k sono fissati dalle condizioni iniziali:

Infatti:

Segue

In maniera simile

cosicché

Finalmente

ovvero l'unica soluzione del problema assegnato, da cui l'asserto.
c.d.d.

L'espressione appena trovata ha un carico computazionale elevato e in ogni caso la serie deve essere troncata a un assegnato ordine di approssimazione. Per alleggerire il calcolo degli integrali, possiamo assumere condizioni iniziali "deltiformi". Precisamente, in unità adimensionali:

dove δ è la funzione delta di Dirac, e condizioni al contorno identicamente nulle, per cui

Nella fig. al top di questa pagina è riportata in modalità suggestiva l'andamento di tale soluzione a t=10 (unità adimensionali).

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Tags: equazione della corda vibrante, equazioni differenziali alle derivate parziali, metodo di fourier

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