» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Ottimizzazione termica di una cantina

La cantina ideale è fresca d'estate e calda d'inverno. Matematicamente, ciò si realizza a una profondità x tale da avere una "onda termica" in opposizione di fase (se in superficie la temperatura è alta, alla profondità x la temperatura è bassa, e viceversa). Si tratta, dunque, di risolvere l'equazione di conduzione del calore, che è una equazione differenziale alle derivate parziali. La ricerca delle soluzioni avviene tramite il metodo di Fourier.
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[¯|¯] Corda vibrante di lunghezza finita (metodo di Fourier)

Passiamo ora allo studio delle vibrazioni di una corda vibrante di lunghezza finita. Per ipotesi la corda è inizialmente tesa sul segmento rappresentato dall'intervallo [0,l]. È chiaro che l'equazione è la stessa della corda infinitamente estesa:

con l'ovvia differenza che la funzione u(x,t) è definita per 0<=x<=l. Le condizioni iniziali a cui deve obbedire l'integrale generale dell'equazione differenziale alle derivate parziali appena scritta sono quelle tipiche:

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